Stability of a Bounded Liquid Layer on a Rotating Horizontal Plane

Abstract

The paper investigates the stability of the relative equilibrium of a bounded liquid layer on a flat solid rotating base. A uniform gravity field is oriented perpendicular to the solid surface and presses the droplet against it. The equilibrium shape and its perturbations are axisymmetric. The free surface is simply connected. The analysis is performed both for the case of the free contact line and for the case of the fixed one. The results obtained by these two models are compared, and the effect of the input parameters on the stability is investigated. It is established that the second model is in better accordance with empirical data. Unlike the first one, it allows the possibility of a zero height of the layer at the center at certain values of the contact angle and determines the negative effect of a low wettability of the solid substrate on the stability of the droplet. The minimum potential energy principle is used as a stability criterion. In this process all physically admissible small variations of a free surface shape are considered. An equilibrium state is supposed to be stable if and only if it corresponds to a minimum potential energy on the set of allowable virtual displacements, which is more restricted when the contact line is fixed.

Numerical study of the relative equilibrium of a droplet with a simply connected free surface on a rotating plane

“…где p -давление жидкости в некоторой рассматриваемой точке поверхности Σ; H -средняя кривизна поверхности Σ в этой точке, определяемая как сумма главных кривизн при положительном направлении векторов главных кривизн внутрь капли. Распределение давления p во вращающейся тяжелой капле описывается формулой [10] p R gZ p…”

“…В силу монотонности функции a t ( ) при g ≥ 0 согласно работе [10] достаточно проверки выполнения только первого равенства из условий (7). Краевой угол должен находиться в диапазоне 0 < θ ≤ π.…”

“…dif t определим с помощью функционала λ, который необходим для более удобного отображения накопления погрешности на всей области определения: Calculation error indicator when using algorithm (23) with steps 0.000 5 (3); algorithm (23) with steps 0.001 (4); algorithm (25) with steps 0.001 (5) в необходимости не только различать случаи X 1 = 0 и X 1 > 0, но и соотносить величину шага со значением X 1 или переходить к новым начальным условиям, если X 1  1. В качестве примера рассмотрим систему (10) при входных параметрах Bo ≠ 0, r r 0 0…”

“…Проведен численный анализ погрешности предлагаемого алгоритма. Данный подход может быть применен и для более широкого спектра силовых полей, что изменит только функцию H r z 0 , ( ) в системе (10), (11), а также для иных задач вида (12), (13). Численно исследованы зависимости между различными безразмерными парамет рами капли и диапазоны входных параметров, при которых существует решение поставленной задачи.…”

“…Системы(10),(11) представляют собой частный случай системы (12), (13). Тогда согласно формулам (15), (18) функции P i имеют вид…”