Spectre D'Un hamiltonien quantique et mecanique classique

Comportement semi-classique du spectre des hamiltoniens quantiques elliptiques

“…Nous commencerons donc par éta-blir que Q(h) est un opérateur pseudodifférentiel admettant un développement asymptotique en h, adaptant à cette situation les techniques utilisées dans [16]. L'étude des singularités de la distribution S^ se fera ensuite en utilisant les méthodes de [4]. Cette étude nous permet d'améliorer dans certains cas des résul-tats récents de L. Hôrmander [12] sur le comportement asymptotique des valeurs propres d'opérateurs pseudodifférentiels dans R".…”

“…Cette étude est une adaptation de celle faite par J. Chazarain [4] pour l'opéra-teur de Schrôdinger usuel. Aussi nous renvoyons à [4] pour les dé-monstrations que nous omettrons ici. …”

“…On peut alors évaluer J^(A) en appliquant le théorème de la phase stationnaire généralisé comme dans [4]. On peut aussi procéder directement en paramétrant 2 après une partition de l'unité et en utilisant le théorème de la phase stationnaire usuel avec paramètres.…”

“…Ce problème a déjà fait l'objet de nombreux travaux (Duistermaat [6], Leray [13], Masiov [14]). Dans [4], J. Chazarain a donné des informations précises en étudiant le comportement de la distribution S/,(0 = Trace [^-J7^'lr W Î )], lorsque h -^ 0. Ce comportement est relié aux périodes des trajectoires périodiques de (H).…”

“…L'objet du présent travail est de prolonger ce type de ré-sultats à des hamiltoniens plus généraux autoadjoints positifs, d'ordre 2m, m réel >0, dont le symbole a(h, x , Ç) est elliptique en (x, ^) et admet un développement asymptotique par rapport à h. L'analogue des résultats de [4] ne peut pas subsister pour l'opérateur a(h, x, hDyç) lui-même car les périodes des trajectoires périodiques du champ hamiltonien H^ (ûg étant le premier terme du développement de û(A,x,{)) dépendent trop étroitement de l'énergie (voir remarque 4). Par contre, nous montrerons que les résultats de [4] …”