Some decay properties for the damped wave equation on the torus

Abstract

Quelques propriétés de décroissance pour l'équation des ondes amorties sur le tore RésuméCet article est la version courte d'un travail en cours [1], et a fait l'objet d'un exposé du second auteur au cours des Journées "Équations aux Dérivées Partielles" (Biarritz, 2012).On s'intéresse aux taux de décroissance de l'énergie pour l'équation des ondes amorties dans des situations où le coefficient d'amortissement b ne satisfait pas la condition de contrôle géométrique. On donne tout d'abord un lien avec la contrôlabilité de l'équation de Schrödinger associée. On montre que l'observabilité du groupe de Schrödinger implique la décroissance à taux 1/ √ t du semigroupe des ondes amorties (taux meilleur que le taux logarithmique a priori fourni par le théorème de Lebeau).Dans un second temps, on se focalise sur le tore 2-D. Toujours en supposant que le contrôle géométrique n'est pas réalisé, on montre que le semigroupe décroît au mieux à taux 1/t. Réciproquement, pour des coefficients d'amortissements b réguliers, on prouve la décroissance à taux 1/t 1−ε , pour tout ε > 0.Dans le cas où le le coefficient d'amortissement est la fonction caractéristique d'une bande (donc discontinu), on effectue des simulations numériques qui semblent exhiber un taux de décroissance strictement pire que 1/t.En particulier, notre étude tend à montrer que le taux de décroissance dépend fortement du taux d'annulation de b. VI-1 AbstractThis article is a proceedings version of the ongoing work [1], and has been the object of a talk of the second author during the Journées "Équations aux Dérivées Partielles" (Biarritz, 2012).We address the decay rates of the energy of the damped wave equation when the damping coefficient b does not satisfy the Geometric Control Condition (GCC). First, we give a link with the controllability of the associated Schrödinger equation. We prove that the observability of the Schrödinger group implies that the semigroup associated to the damped wave equation decays at rate 1/ √ t (which is a stronger rate than the general logarithmic one predicted by the Lebeau Theorem).Second, we focus on the 2-dimensional torus. We prove that the best decay one can expect is 1/t, as soon as the damping region does not satisfy GCC. Conversely, for smooth damping coefficients b, we show that the semigroup decays at rate 1/t 1−ε , for all ε > 0.In the case where the damping coefficient is a characteristic function of a strip (hence discontinuous), we give numerical evidence of decay rates strictly worse than 1/t. In particular, our study tends to prove that the decay rate highly depends on the way b vanishes.

Decay rates for the damped wave equation on the torus

“…The branch closest to the imaginary axis is explicitly computed, it contains a sequence of eigenvalues (z i ) i∈N such that Im z i → ∞ and | Re z i | ≤ C0 (Im zi) 3/2 . This result is in agreement with the numerical tests given in [AL12].…”

“…In the situation where b is a characteristic function of a vertical strip of the torus (hence discontinuous), Stéphane Nonnenmacher proves in Appendix B that the decay rate cannot be faster than 1 t 2/3 . This is done by explicitly computing the high frequency eigenvalues of the damped wave operator which are closest to the imaginary axis (see for instance the figures in [AL03,AL12]). The fact that the decay rate 1/t is not achieved in this situation was observed in the numerical computations presented in [AL12].…”

Sharp polynomial decay rates for the damped wave equation on the torus

“…The localization properties for the spectrum of A, stated in the first part of this lemma are illustrated for instance in [AL03] or [AL12].…”

“…Due to the invariance of b in one direction, the spectrum of the damped wave operator A splits into countably many "branches" of eigenvalues. This structure of the spectrum is illustrated in the numerics of [AL03,AL12].…”

“…This is done by explicitly computing the high frequency eigenvalues of the damped wave operator which are closest to the imaginary axis (see for instance the figures in [AL03,AL12]). The fact that the decay rate 1/t is not achieved in this situation was observed in the numerical computations presented in [AL12].…”