Solving the nearest rotation matrix problem in three and four dimensions with applications in robotics

Abstract

Since the map from quaternions to rotation matrices is a 2-to-1 covering map, this map cannot be smoothly inverted. As a consequence, it is sometimes erroneously assumed that all inversions should necessarily contain singularities that arise in the form of quotients where the divisor can be arbitrarily small. This misconception was clarified when we found a new division-free conversion method. This result triggered the research work presented in this thesis. At first glance, the matrix to quaternion conversion does not seem to be a relevant problem. Actually, most researchers consider it as a well-solved problem whose revision is not likely to provide any new insight in any area of practical interest. Nevertheless, we show in this thesis how solving the nearest rotation matrix problem in Frobenius norm can be reduced to a matrix to quaternion conversion. Many problems, such as hand-eye calibration, camera pose estimation, location recognition, image stitching etc. require finding the nearest proper orthogonal matrix to a given matrix. Thus, the matrix to quaternion conversion becomes of paramount importance. While a rotation in 3D can be represented using a quaternion, a rotation in 4D can be represented using a double quaternion. As a consequence, the computation of the nearest rotation matrix in 4D, using our approach, essentially follow the same steps as in the 3D case. Although the 4D case might seem of theoretical interest only, we show in this thesis its practical relevance thanks to a little known mapping between 3D displacements and 4D rotations. In this thesis we focus our attention in obtaining closed-form solutions, in particular those that only require the four basic arithmetic operations because they can easily be implemented on microcomputers with limited computational resources. Moreover, closed-form methods are preferable for at least two reasons: they provide the most meaningful answer because they permit analyzing the influence of each variable on the result; and their computational cost, in terms of arithmetic operations, is fixed and assessable beforehand. We have actually derived closed-form methods specifically tailored for solving the hand-eye calibration and the pointcloud registration problems which outperform all previous approaches. Dado que la función que aplica a cada cuaternión su matrix de rotación correspondiente es 2 a 1, la inversa de esta función no es diferenciable en todo su dominio. Por consiguiente, a veces se asume erróneamente que todas las inversiones deben contener necesariamente singularidades que surgen en forma de cocientes donde el divisor puede ser arbitrariamente pequeño. Esta idea errónea se aclaró cuando encontramos un nuevo método de conversión sin división. Este resultado desencadenó el trabajo de investigación presentado en esta tesis. A primera vista, la conversión de matriz a cuaternión no parece un problema relevante. En realidad, la mayoría de los investigadores lo consideran un problema bien resuelto cuya revisión no es probable que proporcione nuevos resultados en ningún área de interés práctico. Sin embargo, mostramos en esta tesis cómo la resolución del problema de la matriz de rotación más cercana según la norma de Frobenius se puede reducir a una conversión de matriz a cuaternión. Muchos problemas, como el de la calibración mano-cámara, el de la estimación de la pose de una cámara, el de la identificación de una ubicación, el del solapamiento de imágenes, etc. requieren encontrar la matriz de rotación más cercana a una matriz dada. Por lo tanto, la conversión de matriz a cuaternión se vuelve de suma importancia. Mientras que una rotación en 3D se puede representar mediante un cuaternión, una rotación en 4D se puede representar mediante un cuaternión doble. Como consecuencia, el cálculo de la matriz de rotación más cercana en 4D, utilizando nuestro enfoque, sigue esencialmente los mismos pasos que en el caso 3D. Aunque el caso 4D pueda parecer de interés teórico únicamente, mostramos en esta tesis su relevancia práctica gracias a una función poco conocida que relaciona desplazamientos en 3D con rotaciones en 4D. En esta tesis nos centramos en la obtención de soluciones de forma cerrada, en particular aquellas que solo requieren las cuatro operaciones aritméticas básicas porque se pueden implementar fácilmente en microcomputadores con recursos computacionales limitados. Además, los métodos de forma cerrada son preferibles por al menos dos razones: proporcionan la respuesta más significativa porque permiten analizar la influencia de cada variable en el resultado; y su costo computacional, en términos de operaciones aritméticas, es fijo y evaluable de antemano. De hecho, hemos derivado nuevos métodos de forma cerrada diseñados específicamente para resolver el problema de la calibración mano-cámara y el del registro de nubes de puntos cuya eficiencia supera la de todos los métodos anteriores.