Solution of the Cauchy problem for a time-dependent Schrödinger equation

Abstract

Abstract. We construct an explicit solution of the Cauchy initial value problem for the n-dimensional Schrödinger equation with certain time-dependent Hamiltonian operator of a modified oscillator. The dynamical SU (1, 1) symmetry of the harmonic oscillator wave functions, Bargmann's functions for the discrete positive series of the irreducible representations of this group, the Fourier integral of a weighted product of the Meixner-Pollaczek polynomials, a Hankel-type integral transform and the hyperspherical harmonics are utilized in order to derive the corresponding Green function. It is then generalized to a case of the forced modified oscillator. The propagators for two models of the relativistic oscillator are also found. An expansion formula of a plane wave in terms of the hyperspherical harmonics and solution of certain infinite system of ordinary differential equations are derived as a by-product.

Обращение Времени Для Модифицированных Осцилляторов

“…В работе [1] получено явное решение задачи Коши для уравнения Шредингера i ∂ψ ∂t = H(t)ψ (1.1) для некоторого модифицированного осциллятора в R n . При n = 1 гамильтониан, рассмотренный в работе [1], имеет вид…”

“…Более того, в работе [20] опера-тор эволюции для одномерного уравнения Шредингера (1.1) был построен в общем случае, когда гамильтониан дается произвольной квадратичной формой от операто-ров координаты и линейного импульса. В рамках этого подхода упомянутые выше точно решаемые модели, включая модифицированный осциллятор из работы [1], классифицируются в терминах элементарных решений некоторого характеристиче-ского уравнения, связанного с дифференциальным уравнением Риккати.…”

“…Работа построена следующим образом. В разделе 2 мы выводим пропагаторы для гамильтонианов (1.2) и (1.7), следуя методу из работы [20]; заметим, что в работе [1] выражение (1.5) было получено с помощью совершенно иного подхода, с использо-ванием SU (1, 1)-симметрии волновых функций n-мерного осциллятора и полиномов Майкснера-Поллачека. В разделе 2 также рассматривается еще одна пара вполне интегрируемых дуальных гамильтонианов.…”

“…Как и в работах [1], [20]- [22], мы рассматриваем решения зависящего от времени уравнения Шредингера с переменными коэффициентами. Случай уравнения типа уравнения диффузии исследован в работе [23].…”

“…Обобщение на модифицирован-ные осцилляторы с вынуждающей силой очевидно (см. работу [1]). Более сложный случай может включать в себя специальные функции типа функций Бесселя, ги-пергеометрических или эллиптических функций [20], [21], [50], [52]- [55].…”