Sobre a unicidade da solução no controle de Sistemas Lineares com Saltos Markovianos não observados

Abstract

RESUMOOs Sistemas Lineares com Saltos Markovianos (SLSM) são considerados uma importante classe de sistemas e vêm sendo intensamente estudados, principalmente pela característica de serem similares a sistemas lineares determinísticos clássicos e por modelar sistemas que possuem alterações abruptas em sua dinâmica em determinados instantes. Os SLSMs têm aplicações em váriasáreas como economia [1, 2] e engenharia (por exemplo em robótica [4,9] e na fabricação de papel [3]).Um dos métodos disponíveis na literatura para resolver o problema de custo quadrático de N estágios para sistemas lineares com saltosé comumente chamado de método variacional [5]. Este método baseiase em uma condição do tipo "gradiente nulo", queé necessária porém não suficiente para otimalidade da solução, conforme apresentado em [7]. Surgiram, em seguida, alguns trabalhos que conjecturaram sobre a suficiência desta condição, como por exemplo [8], sem chegar contudo a uma conclusão definitiva; mais recentemente foi observado que a questão continua em aberto [6].Uma formulação sucinta do problemaé como segue. Seja uma cadeia de Markov cujo estado no. Associado a esta cadeia, considere a seguinte recursão: X i (k) = T j=1 p ji (A j +B j g(k))X j (k−1)(A j +B j g(k)) + T j=1 p ji π j (k − 1)G j G j , com condição inicial dada por X i (0) = π i (0)x(0)x (0), na qual as matrizes A j , B j e G j , j ∈ T , são conhecidas e de dimensões apropriadas, e g(k)é a variável (matricial) a ser determinada. Considerando matrizes de ponderação positivas semidefinidas C j , D j , j ∈ T , definimos o problema de otimização na variável g = {g(0), g(1), ..., g(N − 1)}:(1) Para a interpretação física e detalhes do problema acima, por gentileza consulte [2, 6, 7]. O valor de θ(k) nãoé observado, explicando porque o problema acima não depende dessa variável. A contribuição deste resumoé apresentar um exemplo numérico esclarecendo que o problema pode apresentar mínimos locais múltiplos e distintos, levando ao resultado formalizado no final deste resumo. Em particular, conclui-se que a condição de otimalidade citada no início nãoé suficiente para otimalidade; também, o método variacional pode convergir para diferentes mínimos locais, como ilustrado no exemplo. Este exemploé um dos dois que encontramos entre 10.000 gerados aleatoriamente. Exemplo numérico. Considere os parâmetros: A1 = 0.3182 −0.4145 0.5992 1.3150 , A2 = −1.6236 −0.1252 1.6573 −2.5347 , A3 = −1.5097 2.7404 −3.8474 2.7029 , A4 = −24.5608 35.9306 −12.6778 18.0155 , C1 = 2.2161 −2.5044 −2.5044 2.8302 , C2 = 0.0037 0.0808 0.0808 1.7709 , C3 = 0.4955 −0.4143 −0.4143 0.3464 , C4 = 9.2357 −12.4190 −12.4190 16.6996 , B1 = −0.7975 −0.1901 , B2 = −0.1653 0.7806 , B3 = 0.3732 −0.2935 , B4 = −0.7853 −0.4005 , G1 = 2.4078 0.7081 , G2 = 0.7858 −0.8289 , G3 = 0.5203 0.3073 , G4 = −0.5039 −0.2670 , π(0) = 0.2440 0.1691 0.5412 0.0457 , x(0) = −0.5212 0.0605 , D1 = 0.3613, * Agradecimentos a FAPESP procs.