Sobre a fibra especial e o teorema de Risler-Teissier para filtrações

Complexos simpliciais finitos e o teorema de Euler

“…Um poliedro é um objeto tridimensional composto por faces poligonais unidas uma as outras ao longo de segmentos de retas, chamados arestas e, estas interceptam-se em em um ponto, chamado vértice. O presente trabalho é uma releitura deste clássico resultado em matemática (o Teorema de Euler para Poliedros) e, para tanto, seguimos a exposição de Lima (1985a) ao assunto, onde apresenta, 1 Uma bela introdução ao tema pode ser vista em Richeson (2012) 2 Notação que não era utilizada pelo mesmo, (Richeson (2012)) 1.2 comenta e enriquece a demonstração feita por Cauchy (1789Cauchy ( -1857.…”

“…Já no terceiro capítulo (3) e com base na leitura do artigo principal à dissertação (Lima (1985a)), trataremos do teorema de Euler e verificaremos que a demonstração formulada por Cauchy (que é geométrica) de fato não demonstra o resultado de Euler para poliedros homeomorfos a esfera (pois utiliza técnicas avançadas da topologia álgebrica). Apresentaremos um enunciado alternativo ao de Cauchy e faremos a demonstração deste resultado geométrico.…”

“…Nesta seção apresentaremos o cálculo da homologia da esfera S 2 . Escolha deste espaço topológico foi feita de modo a enriquecer o estudo do artigo do professor Elon Lages Lima, (Lima (1985a)) que versa sobre a demonstração do teorema de Euler para poliedros.…”

“…No capítulo anterior foi mostrado, utilizando métodos de homologia, que χ(X) = 2 para X homeomorfo a esfera S 2 . Assim sendo, para qualquer qualquer triangulação K de S 2 teremos Em Lima (1985a), o autor, motivado pelo texto de Lakatos (1976), explicita o que de fato foi demonstrado por Cauchy na tentativa de verificar o Teorema de Euler e esta demonstração, reformulada em Courant e Robbins (1996) e em Hilbert e Cohn-Vossen (1990), utilizava técnicas avançadas que não foram mencionadas pelos autores (Lima (1985a)) mas são de extrema importância para a validade do resultado.…”

“…No caso de poliedros convexos, existem várias demonstrações corretas que utilizam resultados elementares de geometria, o autor destaca a primeira dessas a de Legendre (1849) que foi melhorada em Filho (1983) na qual foi tirada a dependência da geometria esférica (ver Lima (1985b)). (Cauchy -1813) O enunciado do teorema a ser demonstrado (versão de Cauchy) será reformulado em linguagem moderna utilizando o conceito de pseudo-variedades (definição 2.3.1), o que nos permitirá a conexão 3.1 das demonstrações topológicas com esta, que é geométrica Lima (1984), Lima (1985a), Lima (1985b), Brasselet e Thuy (2016).…”