Simple L∗-groups of even type with strongly embedded subgroups

Simple L∗-groups of even type with weakly embedded subgroups

“…In this paper we will extend the results of [6] to simple L * -groups of even type with weakly embedded subgroups. A version of the additional hypothesis used in the strongly embedded case will be retained, given as hypothesis ( * ) in the statement of Theorem 1 below.…”

“…As a result, for a time we will be using the notation S for a carefully selected Sylow • 2-subgroup of M, and the notation A (which eventually will be nothing but Ω 1 (S)) for a very particular elementary abelian subgroup of S. But because Theorem 3 allows for the presence of involutions in M/O • 2 (M), a group of degenerate type, the notation Ω 1 (M) has no real use for us (until a very late stage of the analysis, at least, at which point it would be superfluous). Now as we have noted, the hypothesis ( * ) as formulated here differs from the formulation selected in the strongly embedded case [6], where Ω 1 (M) was used rather than…”

“…Indeed, the intended analysis of simple L * -groups of even type is modeled very closely on that of simple K * -groups of even type. With this in mind, an initial analysis of weak embedding was undertaken in [5] in the L * -context, and in [6], a first L * -characterization of PSL 2 in characteristic two, using the stronger notion of strongly embedded subgroup, was obtained under additional hypotheses.…”

“…A version of the additional hypothesis used in the strongly embedded case will be retained, given as hypothesis ( * ) in the statement of Theorem 1 below. It must, however, be rephrased, as will be explained after the statement of Theorem 1, because several versions of the hypothesis which are equivalent in the strongly embedded case are not equivalent (or in any case, not obviously so) in the weakly embedded case, and the simplest formulation, adopted in [6], is not the one which is appropriate in general.…”

Structure des groupes linéaires définissables dans un corps de rang de Morley fini

“…D'après ce que nous avons vu,ā,b etc sont deux-à-deux indépendants au-dessus de K. Soientc 1 une autre base des points verts de K 3 , qui se décompose commec 1 =ā ·b 1 , et H le stabilisateur multiplicatif du type deā sur K dans le pur langage des corps. Commec etc 1 ont même type au-dessus de {K,b 1 ,b} qui est un héritier de tp(c/K), l'élémentc 1 ·c −1 ∈ H , d'oùc 1 ∈ H c. Comme le rang de Morley d'un type est toujours supérieur ou égal à celui de son stabilisateur, RM(ā/K) = RM(H ) ; donc H est un sous-groupe algébrique infini connexe de (L * ) n et c est un générique d'une cossette modulo H , où n est la longueur dec. Comme H est défini par une conjonction finie d'équations sans paramètres de la forme x m 1 1 · · · x m n n = 1 à sous-groupes normaux résolubles de G est définissable et résoluble, il est le plus grand sous-groupe normal résoluble définissable R(G) de G. Donc on est capable de démontrer une analogue du Théorème 2.9 dans notre contexte : Tout cela assure l'existence d'un contexte où nos résultats sont significatifs, contrairement au cas de rang de Morley fini il y a des exemples connus de tels corps avec des sous-groupes définissables non algébriques de GL n (K), par exemple, le tore V n dans mauvais corps vert de Poizat.…”