Sequentially compact subsets and monotone functions: An application to fuzzy theory

Abstract

Abstract. Let (X, <, τ O ) be a first countable compact linearly ordered topological space. If (Y, D) is a uniform sequentially compact linearly ordered space with weight less than the splitting number s, then we characterize the sequentially compact subsets of the space M(X, Y ) of all monotone functions from X into Y endowed with the topology of the uniform convergence induced by the uniformity D. In particular, our results are applied to identify the compact subsets of M ([0, 1], Y ) for a wide class of linearly ordered topological spaces, including Y = R. This allows us to provide a characterization of the compact subsets of an extended version of the fuzzy number space (with the supremum metric) where the reals are replaced by certain linearly ordered topological spaces, which corrects some characterizations which appear in the literature.Since fuzzy analysis is based on the notion of fuzzy number just as much as classical analysis is based on the concept of real number, our results open new possibilities of research in this field.

Completeness, metrizability and compactness in spaces of fuzzy-number-valued functions

“…In [14,Theorem 4.2], Fang and Xue set up a fuzzy version of Ascoli theorem which characterized compact subsets of the space C(K, (E 1 , d ∞ )) of all fuzzy-valued continuous functions on a compact metric space K endowed with the topology of the uniform convergence. Unfortunately this version is not correct since, as pointed out in [15], it is based on a wrong characterization ( [14,Theorem 2.4]) of the compact subsets of (E 1 , d ∞ ). In the last section of this paper we fix [14,Theorem 4.2] by extending the fuzzy Ascoli theorem to a broader framework.…”

Espacios de funciones continuas con valores difusos

“…El teorema anterior relaciona el estudio de los números difusos con el estudio de funciones monótonas. En este contexto, pueden ser de interés las técnicas desarrolladas en [28,62].…”

“…Así pues, en [22, Theorem 4.2], Fang y Xue prueban una versión difusa del teorema de Ascoli que caracteriza los subconjuntos compactos del espacio C(K, (E 1 , d ∞ )) de todas las funciones difusas continuas definidas en un espacio métrico compacto K dotado con la topología de la convergencia uniforme. Lamentablemente, esta versión no es correcta ya que, como se indica en [28], se basa en una caracterización incorrecta ([22, Theorem 2.4]) de los subconjuntos compactos de (E 1 , d ∞ ). En la sección 4.4, corregimos [22, Theorem 4.2] ampliando el teorema de Ascoli difuso a un marco más general.…”

“…Para cada k ∈ K, el conjunto { f (k) : f ∈ F } es d ∞ -acotado, es decir, estácontenido en una bola de centro 0 en el espacio métrico (E 1 , d ∞ ).2. F es equicontinua en K. Para cada k ∈ K, el conjunto { f (k) : f ∈ F } es ]0, 1]-uniformemente equicontinuo, es decir, F es puntualmente ]0, 1]-uniformemente equicontinuo.Desafortunadamente este teorema se basa en una caracterización incorrecta ([22, Theorem 2.4]) de los subconjuntos compactos de E 1 , como se señala en[28]. Para proporcionar una caracterización correcta de los compactos de E 1 , debemos introducir varios conceptos.…”

“…El mismo argumento demuestra que la familia { v − (−) : v ∈ cl E 1 U } es también equicontinua por la izquierda en cada λ 0 ∈ ]0, 1] y que ambas familias son casi-equicontinuas por la derecha. Esto completa la prueba.Por[28, Theorem 3.3] se tiene que un conjunto cerrado K de E 1 es compacto si, y solo si, satisface las dos propiedades siguientes: (1) K es d ∞acotado, y (2) K es equicontinuo a ambos lados. Este resultado permite caracterizar los subconjuntos precompactos de E 1 .…”