Separation of variables in the generalized 4th Appelrot class

Abstract

We consider the analogue of the 4th Appelrot class of motions of the Kowalevski top for the case of two constant force fields. The trajectories of this family fill the four-dimensional surface O in the six-dimensional phase space. The constants of three first integrals in involution restricted to this surface fill one of the sheets of the bifurcation diagram in R 3 . We point out the pair of partial integrals to obtain the explicit parametric equations of this sheet. The induced system on O is shown to be Hamiltonian with two degrees of freedom having the thin set of points where the induced symplectic structure degenerates. The region of existence of motions in terms of the integral constants is found. We provide the separation of variables on O and the algebraic formulae for the initial phase variables.

Topological Atlas of the Kovalevskaya Top in a Double Field

“…The sets M 1 and M 2 are smooth four-dimensional manifolds, though M 2 is non-orientable (see [27,33]). Using the explicit parametric equations of the set M 3 obtained in [34] (see also [30]) it can be shown that M 3 is a smooth four-dimensional manifold everywhere except for the points common with M 4 . At these points M 3 has a transversal self-intersection which is the two-dimensional manifold M 3 ∩ M 4 with boundary.…”

“…[35]) that on a manifold defined as a common level of two independent functions such degeneration takes place on a subset of zeros of the Poisson bracket of these functions. At the points of the subsystems M i the following identities hold [27,28,34]…”

Classification of singularities in the problem of motion of the Kovalevskaya top in a double force field

“…§ 3. Критические подсистемы и бифуркационные диаграммы В этом разделе излагается сводка результатов [12,13,23,24], относящихся к нахождению критического множества отображения момента (1.5) и бифуркационных диаграмм. Приво-дится система единых обозначений, необходимая для трехмерной классификации.…”

“…Эти множества обладают еще одним важным свойством, которое оказывается связанным с вырожденностью критических точек в P 6 , а именно, как показано в работах [14], [15], [28], на множествах M i ∩ F −1 (∆ i ) (i = 1, 2, 3) вырождается 2-форма, индуцированная на M i сим-плектической структурой многообразия P 6 . Заметим, что внутри M 1 соответствующие точки регулярны, внутри M 2 , M 3 регулярны почти все из них (за исключением точек пересечения с C 1 ).…”

“…На многообразии M 3 , заданном уравнениями (1.2), (3.5), явное алгебраическое решение системы (1.1) указано в [16,28]. Пусть s, τ , как и выше, -постоянные интегралов (3.6), (3.8), последняя связана с h линейной зависимостью (3.9).…”