Seleção Dinâmica da Dimensão do Subespaço de Krylov no Método GMRES(m) e suas Variantes

Abstract

Resumo. Nesse trabalho apresentamos alguns algoritmos adaptativos do Método do Resíduo Mínimo Generalizado (GMRES) [10], um método iterativo para resolver sistemas de equações lineares com matrizes não simétricas e esparsas, o qual baseiase nos métodos de projeção ortogonal sobre um subespaço de Krylov.O GMRES apresenta uma versão reinicializada, denotada por GMRES(m), também proposta em [10], com o intuito de permitir a utilização do método para resolver sistemas de equações lineares cuja matriz dos coeficientes apresenta uma grande dimensão. No entanto, escolher um valor apropriado, m, para a dimensão da base do subsespaço de Krylové bastante difícil.Dessa forma, nesse trabalho, acrescentamos ao GMRES(m) e algumas de suas variantes um critério que tem por objetivo escolher, ao longo das iterações, um m tal que se obtenha a convergência do método, possivelmente de forma mais rápida.Aproximadamente duas centenas de testes foram realizados utilizando as matrizes da coleção Harwell-Boeing, que foram utilizados para mostrar o comportamento dos algoritmos adaptativos. Foram obtidos resultados muito bons conforme apresentaremos nesse trabalho. IntroduçãoNesse trabalho são estudados aprimoramentos ao método iterativo "Generalized Minimum Residual" (GMRES), proposto por Saad e Schultz em 1986 [10], e algumas de suas variantes, utilizados na solução de sistemas de equações lineares da formaonde A ∈ R n×né não-simétrica e esparsa e x, b ∈ R n . No GMRES original, conforme proposto por Saad e Schultz, o resíduo inicial r 0 = b − Ax 0é utilizado para gerar uma base ortonormal para um subespaço de Krylov, K k (A, r 0 ) = span(r 0 , Ar 0 , . . . , A k−1 r 0 ), (1.2) 1