Revising the musical equal temperament

Abstract

Western music is predominantly based on the equal temperament with a constant semitone frequency ratio of 2 1/12 . Although this temperament has been in use since the 19 th century and in spite of its high degree of symmetry, various musicians have repeatedly expressed their discomfort with the harmonicity of certain intervals. Recently it was suggested that this problem can be overcome by introducing a modified temperament with a constant but slightly increased frequency ratio. In this paper we confirm this conjecture quantitatively. Using entropy as a measure for harmonicity, we show numerically that the harmonic optimum is in fact obtained for frequency ratios slightly larger than 2 1/12 . This suggests that the equal temperament should be replaced by a harmonized stretched temperament as a new standard.

ENTROTUNER: A Computational Method Adopting the Musician’s Interaction With the Instrument to Estimate its Tuning

“…Ratios that do not have the above property, such as the tritone (64/45), evoke a dissonant sound [26]. Tuned musical instruments (e.g., using 12-tone equal temperament system) form intervals that cannot be expressed by small-integer ratios, and as a consequence, the intervals deviate from the theoretical values [27]. A common example is the perfect fifth (ratio 3/2 = 1.5).…”

“…Based on Hinrichsen's work [27] we express harmonicity in terms of entropy, which enables the detection of overlapping peaks. According to Shannon [28] entropy (H ) is calculated by the following formula:…”

“…1). Here we use entropy to detect overlapping partials as a signature of consonance and harmony [27].…”

Um olhar físico sobre a teoria musical

“…Dessa forma, a escala diatônica, antes composta de sete notas, é acrescida de mais cinco notas correspondendo às frequências intermediárias entre os sete tons naturais, com exceção das regiões entre os pares de graus (III, IV ) e (V II, V III), cujos intervalos já são de semitom. A partir da escala cromática então formada por essas doze notas, também conhecida como escala temperada (ou de igual temperamento), podemos definir o intervalo de semitom [17]. Pensemos neste intervalo como o número que, multiplicado pela frequência de uma nota da escala, resulta na frequência da nota imediatamente seguinte.…”

“…Na referência [20], por exemplo, pode-se encontrar um estudo cuidadoso das condições físicas e matemáticas da consonância de ondas sonoras. Uma análise de uma possível modificação das relações de frequências estabelecidas no temperamento igual pode ser vista em [17]. Outros autores tratam dos princípios físicos envolvidos na produção, propagação e combinação de ondas sonoras em instrumentos musicais de diferentes naturezas, como, por exemplo, em [21][22][23].…”