Restricting the Rost invariant to the center

Abstract

Abstract. For simple simply connected algebraic groups of classical type, Merkurjev, Parimala, and Tignol gave a formula for the restriction of the Rost invariant to the torsors induced from the center of the group. This paper completes their results by giving formulas for the exceptional groups. The method is somewhat different and also recovers their formula for classical groups.

Algebraic groups with few subgroups

“…76,Lemma 7], cf. [GaQ,Remark 2.5(i)]. Combining this with the previous paragraph proves the existence and uniqueness of r G q ,m by [Ga,Prop.…”

Formules pour l’invariant de Rost

“…Le § 5 précise les résultats obtenus dans [Merkurjev et al 2002] et [Garibaldi et Quéguiner-Mathieu 2007] concernant la restriction de l'invariant de Rost aux torseurs issus du centre du groupe. La seconde application concerne les groupes de type G 2 , F 4 et E 8 dont le centre est trivial.…”

“…L'ingrédient majeur pour faire ce calcul est la description des invariants des tores quasi-triviaux donnée dans [Merkurjev et al 2002, théorème 1.1], qui montre qu'il existe une classe de cohomologie t R,G ∈ H 2 (k, Z ) telle que ρ G est donné par un certain cup-produit avec t R,G . On sait de plus que cette classe t R,G est, suivant le type du groupe G, soit la classe nulle, soit un multiple non trivial de la classe de Tits t G ∈ H 2 (k, Z ) (voir [Merkurjev et al 2002] pour G de type classique ou [Garibaldi et Quéguiner-Mathieu 2007] pour G de type exceptionnel). Le théorème 1.1 permet d'énoncer le résultat plus précis suivant :…”

“…Quand la composée ρ G est nulle, le résultat est prouvé dans [Merkurjev et al 2002] ou [Garibaldi et Quéguiner-Mathieu 2007]. Pour les autres types de groupes, on sait (loc.…”

“…Si G est de type E 6 , la preuve de [Garibaldi et Quéguiner-Mathieu 2007, §11] montre que si l'invariant de Rost pour le groupe SL 1 (D) est le cup-produit avec m[D], alors t R,G = m t G . En combinant avec le théorème 1.1, on obtient donc le résultat annoncé.…”