Restricted plane tree representations of four Motzkin-Catalan equations

Deux propriétés combinatoires des nombres de Schröder

“…Les nombres de Motzkin M"= £ [ ) C t sont aussi connus mais la biblio\2ij graphie les concernant est moins abondante (cf [6,4,5,17,24,28]). Ils énumèrent les mots de longueur n du langage algébrique M, dit de Motzkin, sur l'alphabet { x, x, y } dont l'équation est :…”

“…On retrouve les nombres de Motzkin dans rénumération de différentes familles d'arbres (zig-zag trees [4], branch-reduced plane trees [4], Y-branching plane trees [4], arbres de degré maximal 3 [17], arbres avec boucles [6], arbres sans sommet d'arité 1 [4]), des partitions d'un polygone [24], de chemins sous-diagonaux avec pas diagonal [6,22], de familles de graphes bipartis [6], de certains parenthésages [5], d'animaux dirigés à une seule source [45,14]. n / .s.…”

“…Ainsi après avoir rappelé un certain nombre de définitions au paragraphe 2, nous allons donner une bijection entre une classe d'arbres que nous appellerons buissons (bushes) ayant 2n -î+1 arêtes et n+1 feuilles et les mots du langage de Motzkin M ayant n -i lettres x et i lettres j. Cette bijection directe est due à R. Cori et peut être reconstruite en composant des bijections dues à Donaghey [4], Rogers [30,31], Rogers et Shapiro [33,34]. Nous montrons en outre qu'elle prouve aussi que les nombres de Schröder comptent les arbres ayant leurs feuilles colorées avec deux couleurs.…”

Trees Associated with the Motzkin Numbers

“…On the other hand, it is known (see [4]) that the number of trees T # M n with k+1 end points is equal to ( n 2k ) C k . This completes the proof of Theorem 2.…”

“…The number of trees T # E n with k+1 vertices on even levels is equal to ( n 2k ) C k . We get the known formula M n = k 0 ( n 2k ) C k (see [2,4]). …”