Reductions of the strict KP hierarchy

Abstract

Пусть $R$ - коммутативная комплексная алгебра и $\partial$ - $\mathbb{C}$-линейное дифференцирование в $R$ такое, что все его степени являются $R$-линейно независимыми. Пусть $R[\partial]$ - алгебра дифференциальных операторов с коэффициентами из $R$, а $Psd$ - ее расширение до алгебры псевдодифференциальных операторов. В алгебре $R[\partial]$ найдены приведенные дифференциальные операторы $\mathbf M_n$ порядка $n\ge 2$ без постоянного члена, удовлетворяющий системе уравнений Лакса, которая определяется лежащим в основе строгой иерархии КП разложением алгебры $Psd$ в прямую сумму двух алгебр Ли. Поскольку этот набор уравнений Лакса является аналогом такого разложения для $n$-й иерархии КдФ, он назван строгой $n$-й иерархией КдФ. Данная система имеет минимальную реализацию, и это позволяет показать, что она обладает свойствами однородности. Кроме того, показано, что система совместна, т. е. строго дифференциальные части операторов $M=(\mathbf M_n)^{1/n}$ удовлетворяют условиям нулевой кривизны, которые являются достаточными для вывода уравнений Лакса для $\mathbf M_n$ и, в частности, для доказательства того, что корень $n$-й степени $M$ из $\mathbf M_n$ есть решение строгой иерархии КП тогда и только тогда, когда $\mathbf M_n$ - решение строгой $n$-й иерархии КдФ. Охарактеризовано место решений строгой $n$-й иерархии КдФ среди ранее известных решений строгой иерархии КП.

Преобразования Дарбу Для Строгой Иерархии Кадомцева-Петвиашвили

“…Таким образом, новая волновая функция может соответствовать только еще одной прямой ℓ 1 = ⟨v 1 ⟩, а соответствующий элемент q 0 = q W,v1 /q W,v . Этот элемент q 0 удовлетворяет (15), так как q W,v1 и q W,v удовлетворяют уравнениям (11) и M W,ℓ = q −1 W,v L W q W,v :…”

“…Напомним кратко основные результаты, начнем со случая n = 1. Приведенные дифференциальные операторы первого порядка, которые представляют преобразования Дарбу решения L W иерархии КП, суть q ∂q −1 , где q ∈ R * удовлетворяют уравнениям (11). Функции из R * , удовлетворяющие (11), суть q W, w , w ∈ W , w ̸ = 0.…”

“…Приведенные дифференциальные операторы первого порядка, которые представляют преобразования Дарбу решения L W иерархии КП, суть q ∂q −1 , где q ∈ R * удовлетворяют уравнениям (11). Функции из R * , удовлетворяющие (11), суть q W, w , w ∈ W , w ̸ = 0. Чтобы получить конкретный оператор, который переводит ψ W в ψ V , возьмем элемент w 1 , порождающий ортогональное дополнение подпространства V в W .…”

“…Строгая n-я иерархия КдФ является строгой версией n-й иерархии КдФ, а также редукцией строгой иерархии КП. Напомним вкратце ее основные свойства, изложенные в работе [11]. Пусть задано окружение (R, {∂ i }) иерархии КП или ее строгой версии, рассмотрим для n-й иерархии КдФ приведенный дифференциальный оператор L n ∈ R[∂] порядка n вида…”