Real algebraic functions on closed manifolds whose Reeb graphs are given graphs

Abstract

In this paper, we construct a real-algebraic function on some closed manifold whose Reeb (Kronrod-Reeb) graph is a graph respecting some algebraic domain: a graph for this is called a Poincaré-Reeb graph.The Reeb graph of a smooth function is defined as a natural graph which is the quotient space of the manifold of the domain under a natural equivalence relation for some wide and nice class of smooth functions. The vertex set is defined as the set of all connected components containing some singular points of the function: a singular point of a smooth function is a point where the differential vanishes. Morse-Bott functions give very specific cases. The relation is to contract each connected component of each preimage to a point.Sharko has posed a natural and important problem: can we construct a nice smooth function whose Reeb graph is a given graph? Explicit answers have been given first by Masumoto-Saeki in a generalized manner for closed surfaces. After that various answers have been presented by various researchers and most of them are essentially for functions on closed surfaces and Morse functions such that connected components of preimages that contain no singular points are spheres. Recently the author has also considered questions and answered them in the cases where the preimages are general manifolds.У статтi побудовано дiйсну алгебраїчну функцiю на деякому замкнутому многовидi, графом Реба (Кронрода-Реба) для якого є граф, який зберiгає деяку алгебраїчну область: його графiк називається графiком Пуанкаре-Реба.Граф Реба гладкої функцiї визначається як природний граф, який є факторпростором многовида, що вiдповiдає областi, вiдносно природньому вiдношенню еквiвалентностi для деякого широкого класу гладких функцiй. Множина вершин визначається як множина всiх зв'язаних компонентiв, що мiстять деякi особливi точки функцiї: особливою точкою гладкою функцiї є точка, в якiй диференцiал дорiнює нулю. Функцiї Морсе-Ботта є конкретними випадками таких функцiй. Вiдношення еквiвалентностi полягає в тому, щоб звести кожен зв'язаний компонент кожного прообразу до точки.Шарко поставив природну i важливу проблему: чи можемо ми побудувати хорошу гладку функцiю, граф Реба якої є заданим графом? Чiткi вiдповiдi були данi спочатку Масумото-Саекi в узагальненому виглядi для замкнутих поверхонь. Пiсля цього були данi вiдповiдi рiзними дослiдниками, i бiльшiсть з них були для функцiй на замкнутих поверхнях i функцiй Морса для випадку, коли зв'язанi компоненти прообразiв, що не мiстять особливих точок, є сферами. Нещодавно автор також розглянув i вiдповiв на цi питання в випадках, де прообрази є загальними многовидами.