Rational approximation on quadrics: A simplex lemma and its consequences

Abstract

We give elementary proof of stronger versions of several recent results on intrinsic Diophantine approximation on rational quadric hypersurfaces X ⊂ P n (R). The main tool is a refinement of the simplex lemma, which essentially says that rational points on X which are sufficiently close to each other must lie on a totally isotropic rational subspace of X.

Simultaneous Diophantine approximation: sums of squares and homogeneous polynomials

“…The next lemma is a polynomial analogue of the classical simplex lemma in simultaneous Diophantine approximation going back to Davenport [D64]. See also [KS18] for a version for arbitrary quadratic forms, [BGSV16, Lemma 1] for a similar statement in the context of Kleinian groups, and [FKMS18, Lemma 4.1] for a general simplex lemma for intrinsic Diophantine approximation on manifolds.…”

On absolutely friendly measures on QSd$\mathbb {Q}_S^d$

“…In recent years, there have been many setups where the appropriate simplex lemma has been proved. For instance, a simplex lemma was proved for rational points on a rational quadric hypersurface in [5] and for projective space $$\mathbb {P}^n(\mathbb {R})$$ in [2].…”

Groupes arithmétiques et approximation diophantienne

“…Nous montrons ci-dessous que cet ensemble est non vide, et même que sa dimension de Hausdorff est maximale, ce qui généralise un résultat bien connu de Schmidt pour l'espace projectif [36]. Notre démonstration utilise une variante des jeux de Schmidt, similaire à celle utilisée dans un article en commun avec Dmitry Kleinbock [24] pour montrer la propriété dans le cas particulier où X est une quadrique projective. Insistons cependant sur le fait que la distance utilisée ci-dessous sur X(R) est celle associée à la métrique de Carnot-Carathéodory introduite à la partie 2.2.…”

“…Dans un article avec Fishman et Simmons [14], ils ont ensuite généralisé leurs résultats à une quadrique arbitraire. Pour une introduction élémentaire à ces problèmes, on renvoie à l'article [24].…”