Random walks on hyperbolic spaces: second order expansion of the rate function at the drift

Abstract

Let (X, d) be a separable geodesic Gromov-hyperbolic space, o ∈ X a basepoint and µ a countably supported non-elementary probability measure on Isom(X). Denote by zn the random walk on X driven by the probability measure µ. Supposing that µ has a finite exponential moment, we give a second-order Taylor expansion of the large deviation rate function of the sequence 1 n d(zn, o) and show that the corresponding coefficient is expressed by the variance in the central limit theorem satisfied by the sequence d (zn, o). This provides a positive answer to a question raised in [6]. The proof relies on the study of the Laplace transform of d(zn, o) at the origin using a martingale decomposition first introduced by Benoist-Quint together with an exponential submartingale transform and large deviation estimates for the quadratic variation process of certain martingales.Résumé (Marches aléatoires sur les espaces hyperboliques : dérivée seconde en la vitesse de fuite de la fonction de taux des grandes déviations) Soit (X, d) un espace Gromov-hyperbolique, géodésique et séparable, o ∈ X un point base et µ une mesure de probabilité non élémentaire et à support dénombrable sur le groupe Isom(X) des isométries de X. Notons par zn la marche aléatoire sur X induite par µ. Sous l'hypothèse de moment exponentiel fini de µ, nous donnons un développement de Taylor d'ordre 2 de la fonction de taux des grandes déviations de la suite de variables aléatoires 1 n d(zn, o) et exprimons la dérivée seconde en la vitesse de fuite en fonction de la variance dans le théorème central limite que vérifie la suite d(zn, o). Cela répond par l'affirmative à une question posée dans [6]. La preuve s'appuie sur l'étude de la transformée de Laplace de d(zn, o) en zéro en utilisant une approximation par une martingale introduite pour la première fois par Benoist-Quint, combinée avec une transformée exponentielle de martingales et des estimées de grandes déviations pour le crochet de certaines martingales.