Quantum Statistics of the Toda Oscillator in the Wigner Function Formalism

Abstract

A b s t r a c t . Classical and quantum mechanical Toda systems (Toda molecules, Toda lattices, Toda quantum fields) recently found growing interest as nonlinear systems showing solitons and chaos. I n this paper the statistical thermodynamics of a system of quantum mechanical Toda oscillators characterized by a potential energy V(p) = V,, cos h q is treated within the Wigner function formslism (phase space formalism of quantum statistics). The partition function is given as a Wigner-Kirkwood series expansion in terms of powers of tL2 (semiclassical expansion). The partition function and qll thermodynamic functions are written, with considerable exactness, as simple closed expressions containing only the modified Hankel functions KO and Kl of the purely imaginary argument i f with 6 = Vo/kT. Qusntonstatistik des Toda-Oszillators im Formalismus der Wignor-Funktion I n h a l tsiibersicht. Klassisclie und quantenmechanische Toda-Systeme (Toda-Molekiile, Toda-Gitter, Toda-Quantenfelder) haben als nichtlineare Systeme mit Solitonen und Chaos in jiingster Zeit zunehmend an Interesse gewonnen. Wir untersuchen die statistische Thermodynamik eines Systems quantenmechanischer Toda-Oszillatoren, die durch eine potentielle Energie der Form V(q) = V,, cos h p charakterisiert sind, im Formalismus der Wigner-Funktion (Phasenraum-Formalismus der Quantenstatistik). Die Zustandssumme wird als Wigner-Kirkwood-Reihe nach Potenzen von 79 (semiklassische Entwicklung) dargestellt, und am ihr werden die thermodynamischen Funktionen berechnet. SLmtliche Funktionen sind durch einfache geschlossene Formeln allein mit den modifizierten Hankel-Funktionen K , und K , des rein imaginiiren Arguments iE mit f = Vo/kT rnit grol3er Genauigkeit darzustellen.

Relativistic Quantum Statistics in the Wigner Formalism and its Applications to the Toda Oscillator

“…The part Z1 of the partition function including quantum and relativistic corrections as explained above can be expressed as Formulae (20) and (21) yield in the nonrelativistic limit kT<< me2 the correct partition function of [23]. The evaluation of higher-order relativistic and quantum corrections is now straightforward.…”

“…There exist a few papers on quantum statistics of Toda chains [211 and Toda fields [221. The nonrelativistic phase space quantum statistics of the symmetric Toda oscillator with (18) is treated in [23]. The dynamics of nonquantum relativistic Toda lattices is the topic of [24-261.…”