Quantum nonlocal test of “X” state based on geometric interpretation of CHSH inequality

Abstract

Quantum nonlocal correlation is one of the important features that distinguish the quantum theory from classical theory. As a typical quantum mixed state, the study of quantum nonlocal correlation based on the "X" state is of great importance for the verification of the correctness of quantum theory and the application of quantum information theory. In this paper, combined with the traditional Clauser-Horne-Shimony-Holt (CHSH) inequality testing for quantum nonlocal correlations, we propose a strategy for testing the quantum nonlocal correlations based on the geometric interpretation of the "X" state. By using the geometric interpretation of the "X" state, which is described by the transform of Bloch sphere, it is possible to investigate the optimal selection of measurement settings. The maximum value of CHSH inequalities also can be obtained from the physical images. Finally, the range of parameters for a successful quantum nonlocal correlation testing based on the CHSH inequality for the "X" state is studied. The results show that, when <i>f</i>=1, the "X" state will reduce to the normal pure entangled state, and the quantum nonlocal correlation testing results are in full agreement with the traditional ones. This result proves the correctness of the geometric interpretation strategy proposed in this paper. When<i>f</i><1, only some of the "X" states can be used for the successfully testing of quantum nonlocal correlations. It is also found that, the range of fidelity values that can be successfully testing the quantum nonlocal correlations will be further increased by increasing the values of <i>r</i>. In particular, when <i>r</i>=1, the range of fidelity value will reach the largest one (e.g. <i>f</i>>0.781). The results in this paper can provide the reference for the experimental testing of the quantum nonlocal correlation by using the "X" state.

Quantum nonlocality testing of the “X” state based on the CHSH inequality in Markov environment

“…2 S > 是否成立，即可证明量子非局域关联的存在。 然而，量子非局域关联在量子信息领域的实际应用中，由于量子态不可避免地将与环 境(如开放量子系统)相互作用，进而导致量子态发生退相干现象，这将导致虽然实验制 备出的量子态具有量子非局域关联特性，但与环境发生相互作用后，其量子非局域关联特 性将会消失，甚至还会出现所谓的"纠缠突然死亡"的现象 [8] 。因此，研究量子态在开放量 子系统中随时间演化后，是否还存在量子非局域关联特性，具有一定的必要性。通常，量 子态在开放量子系统演化时，有两种典型的演化环境模型，即相位阻尼环境和振幅阻尼环 境。例如，相位阻尼环境可以用来描述量子态通过波导时的随机散射过程，而振幅阻尼环 境可以描述自发辐射过程中量子态的动力学演化过程 [9] 。 2007 年，Ting Yu 等 [10] 提出了一种典型的量子态，即"X"态(其密度矩阵可写为如式 方面的特点 [11] ：首先，它可以在各种物理环境中产生，且在常见的开放量子系统中演化 后，仍能保持为"X"型，这为更方便地研究其纠缠和量子非局域关联特性提供了保障。 其次，其包含了若干重要类型的量子态类别，如最大纠缠态、部分纠缠态和 Werner 态等， 都属于"X"态的范畴。 目前， "X"态作为一个重要的量子资源，其在开放量子系统动力学的研究仍然是量子 理论中的研究热点之一。例如，2022 年，Guo [12] 等研究了一类两比特"X"态的相干和混 合的几何图像，并展示了在相干与混合之间相协调的新的图像和结构。Kelleher 等 [13] 指出 了"X"态的一些性质，如纠缠性与二阶辛极空间的一类特殊的超几何平面有关。Namitha 等 [14] 利用"X"态研究了初始的相干对具有偶极相互作用的一个公共真空库中空间分离的 两个量子比特系统的纠缠动力学影响。Zhao [15] 等研究了量子相干性和量子纠缠在 Bell 对角 态这种"X"态中的关系，并进一步提出相干性和纠缠之间的关系。2021 年，我们课题组 [16] 提出了一种基于 CHSH 不等式几何解释的"X"态量子非局域关联检验方案，这对任意 "X"态的量子非局域关联检验研究提供了理论基础。虽然胡强等 [17] 也利用 Hardy-type 佯 谬对振幅阻尼信道、相位阻尼信道和退极化信道等三种类型的退相干传输信道中的量子态 进行了量子非局域关联检验研究。但是，到目前为止，关于"X"态在开放量子系统中， 特别是在 Markov 环境这种典型环境中，基于 CHSH 不等式的量子非局域性的研究还尚未 有报道。 基于此，本文首先给出两种由局部变换关系所关联的"X"态的密度矩阵，结合 Kraus 算符，阐述了在 Markov 环境中， "X"态通过相位阻尼和振幅阻尼环境时，密度矩阵随时 间和保真度的演化情况。最后，基于 CHSH 不等式，对两种类型"X"态经过相位阻尼和 振幅阻尼环境演化后的量子非局域关联特性进行了检验研究，最终给出了这两种"X"态 在上述两种环境中演化后，成功进行量子非局域关联的条件和范围。 2 Markov 环境下"X"态的演化及其基于 CHSH 不等式的检验方案 考虑如图 1 所示的一个由腔 A 和腔 B 组成的量子系统，其中每个系统中均存在一个二 能级原子。腔中原子与腔之间存在相互作用，且这两个腔中的原子之间存在一定的纠缠特 性。此时，可将总的系统(腔 A 和腔 B 组成的整体)看作一个封闭的系统，它们不与系统 外的环境相互作用。在该情况下，由该系统组成的量子态的密度矩阵，可由(1)式进行描 述，其为一典型的"X"态，且其反对角线一般为实数 [18] 。 图 1 量子系统示意图。其中腔 A 和腔 B 中各有一个二能级原子，且其存在纠缠特性。 Fig. 1 Schematic diagram of quantum system.…”