Quadratic congruences on average and rational points on cubic surfaces

Baier, Stephan; Derenthal, Ulrich

doi:10.4064/aa171-2-3

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“…As a consequence, our result can be seen as a new record since V is the first example of cubic surface with N = 4 for which Manin's conjecture is proved. Previously, Manin's conjecture was known for only two non-toric cubic surfaces with N = 6 (see [BBD07] and [BD12]) and two cubic surfaces with N = 5 (see [BD09] and [LB11]).…”

Section: Singularity Type Number Of Lines Resultsmentioning

confidence: 99%

Affine congruences and rational points on a certain cubic surface

Boudec¹

2014

Algebra Number Theory

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Section: Singularity Type Number Of Lines Resultsmentioning

confidence: 99%

Affine congruences and rational points on a certain cubic surface

Boudec¹

2014

Algebra Number Theory

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“…Type A 1 A 5 D'après [BD15], les surfaces de type XX à singularités A 1 A 5 ont pour équation (à isomorphisme près) :…”

Section: D'après ([Bl98] Tableunclassified

Totally invariant divisors of non trivial endomorphisms of the projective space

Mabed

2023

Geom Dedicata

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Ce mémoire de thèse est consacré à l'étude des endomorphismes non inversibles de l'espace projectif complexe P n et plus précisément à leurs sous-espaces totalement invariants (i.e. invariant par image réciproque). Une conjecture énonce que de tels sous-espaces irréductibles de P n sont linéaires ; celle-ci est démontrée pour les diviseurs lisses de P n et pour les diviseurs de P 3 . Cette question est motivée par des enjeux provenant de la dynamique holomorphe mais nous faisons appel aux outils issus de la géométrie algébrique pour y répondre. Soit X un diviseur premier de P n totalement invariant par un endomorphisme non inversible f de P n , on montre dans ce texte les énoncés suivants :(1) le diviseur X contient une courbe de singularités ;(2) le degré d de X est différent de 2 ; et(3) lorsque n = 4 et le diviseur X est normale et non Q-factorielle alors c'est une cubique qui contient un plan linéaire P de P 4 . De plus, si P est Cartier en dehors d'un nombre fini de points alors il est lui-même totalement invariant par une itérée de f . L'étude de la conjecture dans le cas n = 4 nous a mis sur la voie de la deuxième question principale abordée dans ce mémoire de thèse : la classification des cubiques de P 4 à singularités canoniques dont le lieu singulier contient une courbe. Ce résultat constitue la majeure partie de la démonstration du troisième point plus haut.

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“…To define the fan Σ, we first define its maximal cones. For example, σ + : > intmat mplus [3][3] = > -3,-3,-2, > 3,0,1, > 0,2,1;…”

Section: Computational Preparationsmentioning

confidence: 99%

“…. , T 5 ] is classically homogeneous of degree 2 with g ′ ∈ T 4 , T 5 , h ∈ T 1 , T 2 , T3 and g defines a smooth conic (30). The smooth Fano threefold X 30 has the Z 2 -graded Cox ring K[T 1 , .…”

mentioning

confidence: 99%