Prospective Mathematics Teachers’ Proving Approaches and Difficulties Related to Equivalence of Infinity Sets

Abstract

Öz: Bu çalışmada öğretmen adaylarının sonsuz kümelerin denkliği ile ilgili ispatlama yaklaşımlarının ve bu konu ile ilgili güçlüklerinin belirlenmesi amaçlanmıştır. Bu amaç doğrultusunda verilerin toplanması için açık uçlu sorular içeren bir form geliştirilmiş ve 121 matematik öğretmeni adayına uygulanmıştır. Elde edilen veriler içerik analizi ile incelenmiştir. İspatların sınıflanması için Blum ve Kirsch (1991) tarafından sunulan ispat şeması dikkate alınmıştır. Sonuçta öğretmen adaylarının gerçekleştirdikleri ispatlarda formal ve pre-formal yaklaşımları benimseyebildikleri tespit edilmiştir. Bununla birlikte pre-formal yaklaşıma sahip bireylerin ispatlama aktivitelerinde, formal bilgileri ile sezgilerini bir arada kullanabildikleri de görülmüştür. Diğer yandan öğretmen adaylarının ispatı oluşturamamalarına neden olan yanılgıları, bilgi eksiklikleri ve yöntemsel yetersizlikleri belirlenip özellikle yanılgılar, başlıklar halinde sunulmuştur.

Matematik Öğretmen Adaylarının Sayılabilirlik Kavramına Yönelik İspat Şemalarının İncelenmesi

“…In mathematics education literature, there are studies emphasizing similar difficulties (such as misconceptions or heuristic approaches) of pre-service teachers' about the concept of infinity. (e.g., Çelik & Akşan, 2013;Güven & Karataş, 2004;Jirotková & Litter, 2003;Kolar & Čadež, 2012;Pala, 2016;Pala & Narlı, 2018;Singer & Voica, 2008;Tsamir, 1999). It can be said that the findings of this study are parallel to the mentioned studies in many respects.…”

“…It is clear that understanding of the concepts of Cantorian Set Theory are depend on many factors including readiness. Therefore, it can be seen that many studies in the mathematics education literature (e.g., Çelik & Akşan, 2013;Güven & Karataş, 2004;Jirotková & Litter, 2003;Kolar & Čadež, 2012;Pala, 2016;Pala & Narlı, 2018;Singer & Voica, 2008;Tsamir, 1999) dealt with this issue in different contexts in terms of prospective teachers. On the other hand, it can be also said that these studies carried with prospective mathematics teachers are not mainly focused both the concept of countability and the proving activities.…”

“…Bahsedilen yaklaşımlardan bazıları aşağıda yer alan Şekil 8'de sunulmuştur: (ör., Çelik ve Akşan, 2013;Güven ve Karataş, 2004;Jirotková ve Litter, 2003;Kolar ve Čadež, 2012;Pala, 2016;Pala ve Narlı, 2018;Singer ve Voica, 2008;Tsamir, 1999). Bu çalışmanın bulgularının bahsedilen çalışmalara pek çok açıdan paralellik gösterdiği söylenebilir.…”

“…Bu nedenle sonsuzluk kavramının formel bir nitelik kazanmasının ve "gerçek sonsuzluk" fikrinin matematiğe girmesinin Cantor'un çalışmaları ile mümkün olduğu kabul edilmektedir (Tsamir ve Dreyfus, 2002 (Özmantar, 2010). Cantor, doğal sayıların sayılabilirlik özelliğini dikkate almış (Özmantar, 2010) ve doğal sayılar ile bijektif eşlenebilen sonsuz kümelerin sayılabilir sonsuz olduğunu ifade etmiştir (Mamolo, 2009 Tirosh ve Hess, 1979;Fischbein, 2001;Güven ve Karataş, 2004;Martin ve Wheeler, 1987;Monaghan, 2001;Narlı ve Narlı, 2012;Pala, 2016;Pala ve Narlı, 2018;Tall, 1980;Tirosh ve Tsamir, 1996;Tsamir ve Dreyfus, 2002;Tsamir, 2001;Tsamir ve Tirosh, 1999) farklı düzeylerde bu konu üzerine eğildiği görülmektedir. Örneğin, Tall (1980) elemana sahip olduğu düşüncesi (iv) Parça-bütün ilişkilerini dikkate alma yaklaşımı.…”

“…Söz konusu sezgiler eğitim öncesi informal yaşantılar yoluyla kazanılan birincil sezgiler ile eğitim yoluyla kazanılan ikincil sezgiler olarak sınıflanabilir ve bu iki sezginin kesişmesi bireyde tutarsızlıklara neden olabilir (Fischbein, Tirosh ve Hess, 1979). Bu durum ise Fischbein (2001) (Pala ve Narlı, 2018).…”