Propriétés combinatoires, ergodiques et arithmétiques de la substitution de Tribonacci

Fonctions de récurrence des suites d’Arnoux-Rauzy et réponse à une question de Morse et Hedlund

“…La suite des éclatements (renversants, courts ou moyens) détermine explicitement, à une permutation des lettres près, le langage de la suite Une suite d'Arnoux-Rauzy particulière est la suite de Tribonacci, voir par exemple [10] et [6], définie comme le point fixe de la substitution 0 → 01, 1 → 02, 2 → 0. Dans ce cas particulier, tous les éclatements sont des éclatements renversants E L .…”

“…Ces formules permettent de calculer explicitement la fonction R(n) pour une suite d'Arnoux-Rauzy définie par sa suite d'éclatements ; par exemple, on retrouve immédiatement le cas particulier de Tribonacci [6].…”

Dynamical directions in numeration

“…It is proved in [96] (though this was probably already known to Rauzy) that the rational numbers (T n /T n+1 , T n−1 /T n+1 ) provide the best possible simultaneous approximation of (1/β, 1/β 2 ) if we use the distance to the nearest integer defined by a particular norm, i.e., the so-called Rauzy norm; recall that if R d is endowed with the norm ||·||, and if θ ∈ T d , then an integer q 1 is a best approximation of θ if |||qθ||| < |||kθ||| for all 1 k q − 1, where ||| · ||| stands for the distance to the nearest integer associated with the norm || · ||. Furthermore, the best possible constant inf{c ; q 1/2 |||q 1/β, 1/β 2 ||| < c for infinitely many q} is proved in [96] to be equal to (β 2 +2β+3) −1/2 . This approach is generalised in [176] to cubic Pisot numbers with complex conjugates satisfying the finiteness property (F) (see Section 3.3).…”

Best simultaneous diophantine approximations of Pisot numbers and Rauzy fractals

“…The first result in this direction was obtained in [CHM01]. Let β be the dominant root of the polynomial X 3 − X 2 − X − 1.…”