Properties of Spectra of Boundary Value Problems in Cylindrical and Quasicylindrical Domains

Назаров, С. А.

doi:10.1007/978-0-387-85650-6_12

Cited by 70 publications

(89 citation statements)

References 28 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

Section: с а назаровunclassified

“…Сформулируем результаты, которые можно най-ти в гл. 5 из [9] или обзорах [10], [11], и отметим, что названная теория обычно имеет дело с краевыми задачами в классической постановке, но переход к обоб-щенным решениям не встречает сколь-нибудь заметных препятствий (ср.[11]).Разложение (2.6) также может быть получено методом Фурье и обеспечивает формулу для размерностей ядер из теоремы 1, в которой последнее слагаемое есть не что иное, как половина количества волн, возникающих в разложении. § 3.…”

unclassified

See 1 more Smart Citation

Принудительная Устойчивость Простого Собственного Числа На Непрерывном Спектре Волновода

Назаров¹

2013

Функц. анализ и его прил.

View full text Add to dashboard Cite

Функциональный анализ и его приложения 2013, т. 47, вып. 3, с. 37-53 УДК 517.984.46+517.958+531.33 Принудительная устойчивость простого собственного числа на непрерывном спектре волновода * c 2013. С. А. Назаров В статье показано, что при выполнении нескольких условий ортогональности и правильном выборе дополнительных параметров малое компактное возмущение опе-ратора Гельмгольца не выводит из спектра простое собственное число, расположенное между порогами непрерывного спектра задачи Дирихле в области с цилиндрическим выходом на бесконечность. Результат получен посредством асимптотического анализа расширенной матрицы рассеяния. § 1. Постановка задачи Вместе с задачей (1.1) изучаем возмущенную задачу, зависящую от малого па-раметра ε > 0 и набора параметров τ = (τ 0 , τ 1 , . . . , τ N ) ∈ R 1+N , где τ 0 = 1, а остальные числа τ n малые, порядка ε. В возмущенной спектральной задаче −Δuε (x) + εL(τ ; x, ∇)u ε (x) = λ ε u ε (x), x ∈ Ω, u ε (x) = 0, x ∈ ∂Ω, (1.2) фигурирует формально самосопряженный дифференциальный оператор (1.5) * Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 12-01-00348). С. А. НазаровПри этом ( · , · ) Ω -скалярное произведение в пространстве Лебега L 2 (Ω), а H 1 0 (Ω) -пространство Соболева функций, обращающихся в нуль на ∂Ω. В ин-тегральном тождестве (1.5) для задачи (1.2) появился дополнительный член(1.6) Полуторалинейная форма в левой части формулы (1.4) замкнута и положи-тельно определена, так как ввиду цилиндрического строения волновода {x ∈ Q :Таким образом, вариационной задаче ставится [1, гл. 10] в соответствие неогра-ниченный положительно определенный самосопряженный оператор A в L 2 (Ω). Точно так же возникает самосопряженный оператор A ε , который остается по-ложительно определенным при малом ε благодаря неравенству (1.7) и оценкамдля форм (1.6). Возмущение происходит на компактном множестве, т. е. при условии, что ε мало (дифференциальный оператор(1.8)Все ее собственные числа объединим в последовательностьотличаются от дискретных собственными числами, вкрапленными в непрерыв-ный спектр. Решения u и u ε задач (1.1) и (1.2) из класса H 1 0 (Ω) экспоненциально затухают на бесконечности и называются захваченными волнами.Известно, что собственное число при которых возмущение εL(τ ; x, ∇) оператора Лапласа не выводит из спектра простое собственное число, расположенное между порогами,Это делается при помощи анализа вспомогательного объекта -расширенной матрицы рассеяния S ε , введенной в [5] для конических областей и в [6] для цилиндрических. Некоторый блок этой матрицы служит идентификатором то-чечного спектра (см.[6] и далее теорему 5). Появление одного и того же числа N в формулах (1.11) и (1.3) не случайно: именно N условий ортогональности (6.8), наложенных на «основное возмущение» εl 0 , и правильный подбор дополнитель-ных малых параметров τ 1 , . . . , τ N = O(ε) («точная настройка» всей формы εl из (1.6) при учете требований (6.9)) обеспечивают сохранение собственного числа в непрерывном спектре. Вопрос о компенсации неустойчивости кратного соб-ственного числа или гру...

show abstract

Section: с а назаровunclassified

unclassified

Принудительная Устойчивость Простого Собственного Числа На Непрерывном Спектре Волновода

Назаров¹

2013

Функц. анализ и его прил.

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…(the properties of it can be found, e.g., in the surveys [4,5] and books [6,7]) takes problem (1.2) to the following boundary-value problem with quasiperiodicity conditions:…”

Section: §1 Problem Settingmentioning

confidence: 99%

“…The functions give rise to the forbidden exponents β ±k in formula (3.4). Concerning the reasons for with the operator B β ±k loses the Fredholm property, see the source paper [21], and also the introductory Chapter 2 in the book [6], or the survey [5].…”

Section: §1 Problem Settingmentioning

confidence: 99%

On the spectrum of the Laplace operator on the infinite Dirichlet ladder

Назаров

2012

St. Petersburg Math. J.

View full text Add to dashboard Cite

Abstract. The spectrum of the Dirichlet problem is studied in the case of a periodic infinite planar domain having the form of an accommodation ladder: two parallel strips-uprights of thickness h > 0 are linked by treads of the same thickness. It is shown that, for h small, a gap is always opened between the second and third segments of the essential spectrum of the problem operator. The gap between the first and second segments is also discussed: its presence and characteristics depend on the distance between the uprights. It is shown that variation of the thickness of finitely many treads leads to the arising of any prescribed number of discrete spectrum points below the essential spectrum as well as inside the open gap. §1. Problem setting Let Γ be the union of the lines {x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 : x 1 = ±l/2, x 2 ∈ R} and the infinite collection of segments γ p = {x : |x 1

show abstract

“…2, 5). Несмотря на то что эта теория обычно имеет дело с краевыми задачами в классической постановке, переход к интегральным тождествам вида (30) не встречает сколько-нибудь заметных препятствий (см., например, обзор [25]). …”

Section: теорема 3 справедлива формулаunclassified

Асимптотика Собственных Чисел На Непрерывном Спектре Регулярно Возмущенного Квантового Волновода

Назаров¹

2011

ТМФ

View full text Add to dashboard Cite

Properties of Spectra of Boundary Value Problems in Cylindrical and Quasicylindrical Domains

Cited by 70 publications

References 28 publications

Принудительная Устойчивость Простого Собственного Числа На Непрерывном Спектре Волновода

Принудительная Устойчивость Простого Собственного Числа На Непрерывном Спектре Волновода

On the spectrum of the Laplace operator on the infinite Dirichlet ladder

Асимптотика Собственных Чисел На Непрерывном Спектре Регулярно Возмущенного Квантового Волновода

Contact Info

Product

Resources

About