Properties of analytic solutions of a differential equation

Sheremeta, М. М.; Trukhan, Yu.S.

doi:10.30970/ms.52.2.138-143

Cited by 23 publications

(19 citation statements)

References 7 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Order By: Relevance

“…If we choose R = 1/5 and η = 1/2, then from Proposition 4 we get that by the conditions of Theorem 4 the function (11) with the coefficients satisfying ( 12) is of bounded l-index N(F, l) ≤ 1 with l(|z|) ≡ 20.…”

Section: Additionmentioning

confidence: 95%

“…Here we investigate the l-index boundedness of the entire function (10) and (11) with the coefficients satisfying ( 9) and ( 12) respectively.…”

Section: Additionmentioning

confidence: 99%

“…From ( 29) and (30) it follows that for function (11) we have N(F, l; C \ D ηR ) ≤ 1 with l(|z|) ≡ 2/ηR for arbitrary R ∈ (0, 1/2) and η ∈ (0, 1).…”

Section: Additionmentioning

confidence: 99%

“…Some results from [13][14][15][16][17][18][19][20][21][22][23][24] are published also in monograph [10].…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

See 3 more Smart Citations

Властивості Аналітичних Розв'язків Трьох Подібних Диференціальних Рівнянь Другого Порядку

Sheremeta¹,

Trukhan²

2021

Carpathian Math. Publ.

View full text Add to dashboard Cite

Однолиста аналітична в ${\mathbb D}=\{z:\;|z|<1\}$ функція $f(z)$ називається опуклою, якщо $f({\mathbb D})$ $-$ опукла область. Добре відомо, що умова $\text{Re}\,\{1+zf''(z)/f'(z)\}>0$, $z\in{\mathbb D}$, є необхідною і достатньою для опуклості $f$. Функція $f$ називається близькою до опуклої в ${\mathbb D},$ якщо існує опукла в ${\mathbb D}$ функція $\Phi$ така, що $\text{Re}\,(f'(z)/\Phi'(z))>0$, $z\in{\mathbb D}$. С.М. Шах вказав умови на дійсні параметри $\beta_0,$ $\beta_1,$ $\gamma_0,$ $\gamma_1,$ $\gamma_2$ диференціального рівняння $z^2w''+(\beta_0 z^2+\beta_1 z)w'+(\gamma_0z^2+\gamma_1 z+\gamma_2) w=0, $ за яких існує цілий трансцендентний розв'язок $f$ такий, що $f$ і всі його похідні є близькими до опуклих в ${\mathbb D}$. Нехай $0<R\le+\infty$, ${\mathbb D}_R=\{z:\;|z|<R\}$ і $l$ $-$ додатна неперервна функція на $[0,R)$ така, що $ (R-r)l(r)>C,$ $C=\text{const}>1. $ Аналітична в ${\mathbb D}_R$ функція $f$ називається обмеженого $l$-індексу, якщо існує $N\in {\mathbb Z}_+$ таке, що \[\frac{|f^{(n)}(z)|}{n!l^n(|z|)}\le \max\bigg\{\frac{|f^{(k)}(z)|}{k!l^k(|z|)}:\;0\le k\le N\bigg\}\] для всіх $n\in {\mathbb Z}_+$ і $z\in {\mathbb D}_R.$ Досліджено близькість до опуклості та обмеженість $l$-індексу для аналітичних в ${\mathbb D}$ розв'язків трьох аналогічних Шаху диференціальних рівнянь: $z(z-1) w''+\beta z w'+\gamma w=0$, $(z-1)^2 w''+\beta z w'+\gamma w=0$ і $(1-z)^3 w''+\beta(1- z) w'+\gamma w=0$. Незважаючи на подібність цих рівнянь, їх розв'язки мають різні властивості.

show abstract

Section: Additionmentioning

confidence: 95%

“…Here we investigate the l-index boundedness of the entire function (10) and (11) with the coefficients satisfying ( 9) and ( 12) respectively.…”

Section: Additionmentioning

confidence: 99%

See 2 more Smart Citations

Властивості Аналітичних Розв'язків Трьох Подібних Диференціальних Рівнянь Другого Порядку

Sheremeta¹,

Trukhan²

2021

Carpathian Math. Publ.

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…A concept of bounded index for entire function ( [14]) draws attention of many mathematician (see a full bibliography in [7,17,18,11,8]) to investigations of the corresponding function class and possible applications of this concept. It is interesting with its connections to the value distribution theory and analytic theory of differential equation ( [11,18,4]). For example, every entire function has bounded value distribution if and only if its derivative has bounded index ( [13]).…”

mentioning

confidence: 99%

Entire multivariate vector-valued functions of bounded $\mathbf{L}$-index: analog of Fricke’s theorem

Bandura

Baksa

2020

Mat. Stud.

View full text Add to dashboard Cite

We consider a class of vector-valued entire functions $F\colon \mathbb{C}^{n}\rightarrow \mathbb{C}^{p}$. For this class of functions there is introduced a concept of boundedness of $\mathbf{L}$-index in joint variables. Let $|\cdot|_p$ be a norm in $\mathbb{C}^p$. Let $\mathbf{L}(z)=(l_{1}(z),\ldots,l_{n}(z))$, where $l_{j}(z)\colon \mathbb{C}^{n}\to \mathbb{R}_+$ is a positive continuous function.An entire vector-valued function $F\colon \mathbb{C}^{n}\rightarrow \mathbb{C}^{p}$ is said to be ofbounded $\mathbf{L}$-index (in joint variables), if there exists $n_{0}\in \mathbb{Z}_{+}$ such that $\displaystyle \forall z\in G \ \ \forall J \in \mathbb{Z}^n_{+}\colon \quad\frac{|F^{(J)}(z)|_p}{J!\mathbf{L}^J(z)}\leq \max \left \{\frac{|F^{(K)}(z)|_p}{K!\mathbf{L}^K(z)} \colon K\in \mathbb{Z}^n_{+}, \|K\|\leq n_{0} \right \}.$ We assume the function $\mathbf{L}\colon \mathbb{C}^n\to\mathbb{R}^p_+$ such that $0< \lambda _{1,j}(R)\leq\lambda _{2,j}(R)<\infty$ for any $j\in \{1,2,\ldots, p\}$ and $\forall R\in \mathbb{R}_{+}^{p},$where $\lambda _{1,j}(R)=\inf\limits_{z_{0}\in \mathbb{C}^{p}} \inf \left \{{l_{j}(z)}/{l_{j}(z_{0})}\colon z\in \mathbb{D}^{n}[z_{0},R/\mathbf{L}(z_{0})]\right \},$ $\lambda _{2,j}(R)$ is defined analogously with replacement $\inf$ by $\sup$.It is proved the following theorem:Let $|A|_p=\max\{|a_j|\colon 1\leq j\leq p\}$ for $A=(a_1,\ldots,a_p)\in\mathbb{C}^p$. An entire vector-valued function $F$ has bounded $\mathbf{L}$-index in joint variables if and only if for every $R\in \mathbb{R}^{n}_+$ there exist $n_{0}\in \mathbb{Z}_{+}$, $p_0>0$ such that for all $z_{0}\in \mathbb{C}^{n}$ there exists $K_{0}\in \mathbb{Z}_{+}^{n}$, $\|K_0\|\leq n_{0}$, satisfying inequality $\displaystyle\!\max\!\left \{\frac{|F^{(K)}(z)|_p}{K!\mathbf{L}^{K}(z)} \colon \|K\|\leq n_{0},z\in \mathbb{D}^{n}[z_{0},R/\mathbf{L}(z_{0})]\right \}%\leq \nonumber\\\label{eq:5}\leq p_{0}\frac{|F^{(K_0)}(z_0)|_p}{K_0!\mathbf{L}^{K_0}(z_0)},$ where $\mathbb{D}^{n}[z_{0},R]=\{z=(z_1,\ldots,z_n)\in \mathbb{C}^{n}\colon |z_1-z_{0,1}|<r_{1},\ldots, |z_n-z_{0,n}|<r_{n}\}$ is the polydisc with $z_0=(z_{0,1},\ldots,z_{0,n}),$\ $R=(r_{1},\ldots,r_{n})$. This theorem is an analog of Fricke's Theorem obtained for entire functions of bounded index of one complex variable.

show abstract

Local Properties of the Entire Functions of Bounded Index in a Frame

Bandura

Скасків²

2022

Ukr Math J

View full text Add to dashboard Cite

Properties of analytic solutions of a differential equation

Abstract: For an analytic in the unit disk {z : |z| < 1} solution of the differential equation z(z − 1)w ′′ + β 1 zw ′ + γ 2 w = 0 the close-to-convexity, possible growth and the l-index boundedness are investigated.

Cited by 23 publications

References 7 publications

Властивості Аналітичних Розв'язків Трьох Подібних Диференціальних Рівнянь Другого Порядку

Властивості Аналітичних Розв'язків Трьох Подібних Диференціальних Рівнянь Другого Порядку

Entire multivariate vector-valued functions of bounded $\mathbf{L}$-index: analog of Fricke’s theorem

Local Properties of the Entire Functions of Bounded Index in a Frame

Contact Info

Product

Resources

About