Propagation in Fisher–KPP type equations with fractional diffusion in periodic media

Abstract

We are interested in the time asymptotic location of the level sets of solutions to Fisher-KPP reaction-diffusion equations with fractional diffusion in periodic media. We show that the speed of propagation is exponential in time, with a precise exponent depending on a periodic principal eigenvalue, and that it does not depend on the space direction. This is in contrast with the Freidlin-Gärtner formula for the standard Laplacian. RésuméPropagation dans les equations de type Fisher-KPP avec diffusion fractionnaire en milieux périodiques. On s'intéresse ici à la localisation asymptotique en temps des lignes de niveaux des solutions d'equations de réaction-diffusion de type Fisher-KPP avec diffusion fractionnaire en milieu périodique. Nous montrons que la vitesse de propagation est exponentielle en temps, avec un exposant dépendant d'une valeur propre principale périodique, et que cette vitesse ne dépend pas de la direction de propagation. Ceci est en contraste avec la formule de Freidlin-Gärtner pour le laplacien standard. Version française abrégéeConsidérons l'equation de réaction-diffusion de type Fisher-KPP (Kolmogorov -PetrovskiiPiskunov) suivante :avec donnée de Cauchy u(·, 0) = u 0 . Dans ce modèle, (−∆) α représente le laplacien fractionnaire d'ordre α ∈ (0, 1); la fonction µ est supposée périodique en chaque variable. Les conditions sur la donnée initiale u 0 sont données dans le théorème principal. Soit λ 1 la valeur propre principale périodique de (−∆) α − µ(x)I. Dans le cas λ 1 0, la solution tend vers 0 quand t → +∞ (voir [3]) ; c'est pourquoi on va supposer λ 1 < 0. Il existe alors une unique solution stationnaire strictement positive pour (1), notée u + . Par unicité, u + est périodique. Si u est solution de (1) alors u(x, t) → u + (x) quand t → +∞, uniformément sur tout compact et on cherche à comprendre à quelle vitesse l'état stable u + envahit l'état instable 0. , 1)) est traitée dans [7]. Ici nous généralisons ces résultats en milieu périodique. Contrairement au cas du laplacien standard, la vitesse de propagation ne dépend pas de la direction :Théorème 0.1 Supposons λ 1 < 0 et considérons u la solution de (1) où la donnée initiale u 0 est continue par morceaux, positive,Alors pour tout λ ∈ (0, min µ), il existe une constante c λ > 0 et un temps t λ > 0 (ces deux constantes dépendent de λ et u 0 ) tels que pour tout t t λ :La preuve est basée sur la construction de sous-solutions et sur-solutions explicites. Dans la version anglaise de cette note, nous présentons une démonstration complète du cas α < 2α . Il existe une constante M > 0 telle que :, alors u est soussolution de (1) pour t > 0.• pour toute constante B > 0, si t 0 = (d + 2α)(2α |λ 1 |) −1 ln(2 −1 + M |λ 1 | −1 B Un lemme analogue est vrai dans le cas α 1 2 . L'idée sous-jacente à la construction de u et u est exposée dans la version anglaise de cette note.2

Super-linear spreading in local and non-local cane toads equations

“…In this paper, we give a rigorous proof of this spreading rate both in the local and non-local models. This is an addition to the growing list of "accelerating fronts" that have attracted some interest in recent years [9,13,14,16,19,24,26,29].…”

Speed-up of reaction-diffusion fronts by a line of fast diffusion

“…A more precise version, which is even valid in periodic media, is given in [16]. One could think that this type of exponential spreading is exceptional, in fact this is not the case.…”

“…Note that, although we are at this stage only interested in what happens on the road, a full computation of the solution of (4.11) has to be carried out. The lower bound is obtained by exploiting an idea of [16], which was initially devise to locate the level sets of the solutions of the scalar model (4.1) to O(1) precision. First, instead of considering model (4.10) in the whole half-space, we consider it in the strip Ω L = R×(0, L) and impose a Dirichlet condition at y = L, the idea being to let L → +∞.…”

Gradient estimates and symmetrization for Fisher–KPP front propagation with fractional diffusion

“…The starting point is the following estimate, proved in [6] Theorem 2.1 We have, for a universal C > 0:…”

“…It is then natural to ask whether this property holds in a more precise fashion, and a first answer is that given in Cabré-Coulon-Roquejoffre [6]: for a given h ∈ (0, 1) we have {u = h} ⊆ {C −1 e λt ≤ |x| ≤ Ce λt },…”