Projektivit�tengruppen von ovoidalen M�bius-und Laguerreebenen

Abstract

THEO GRUNDHOFER PROJEKTIVITATENGRUPPEN VON OVOIDALEN MOBIUS-UND LAGUERREEBENEN ZUSAMMENFASSUNG. Die Untersuchungen fiber Projektivitiitengruppen in MSbius-und Laguerreebenen yon Freudenthal-Strambach [7], Kroll [16] und Funk [9] zeigten, dal3 die Sch/irfe der dreifachen Transitivit/it dieser Gruppen gerade die miquelschen Ebenen charakterisiert. Die vorliegende Arbeit zielt vor allem darauf, fiir endliche nichtmiquelsche M6bius-und Laguerreebenen die Projektivitfitengruppe anzugeben. Dazu identifizieren wir zunfichst einige Untergruppen H(P) der Projektivitg.tengruppe, und untersuchen dann im zweiten Abschnitt die Beziehungen dieser Gruppen zueinander, wobei sich Zusammenh/inge mit der Steinerschen Erzeugung yon Kegelschnitten ergeben. Nach diesen Vorbereitungen ergibt sich dann Satz 3.1, der besagt, dab die Projektivit~tengruppe jeder endlichen ovoidalen MSbius-oder Laguerreebene, welche nicht miquelsch ist, die alternierende Gruppe enth~ilt. Abschnitt 4 liefert schliel31ich Methoden zur Beantwortung der Frage, ob eine solche Pro-jektivit~itengruppe ungerade Permutationen enth~lt. Damit kann man z.B. die genauen Projektivitfitengruppen der MSbiusebenen vom Suzuki-Tits-Typ angeben (Korollar 4.9). 0. BEGRIFFE UND BEZEICHNUNGEN Sei M eine M6bius-oder Laguerreebene. Zur Definition vgl. etwa Freudenthal-Strambach [7] oder Halder-Heise [11] S. 228f. Der Einheitlichkeit halber heigen die Zykel einer Laguerreebene hier auch Kreise. Als affine Ableitung M e von M im Punkt P bezeichnen wir die affine Ebene, welche man folgendermal3en erh/ilt: Ist M eine M6biusebene, so bestehe Mp aus den yon P verschiedenen Punkten yon M und aus den Mengen k\{P}, wobei k ein Kreis von M durch P ist. Ist M eine Laguerreebene, so bestehe M e aus denjenigen Punkten von M, welche nicht zu P parallel sind, d.h. nicht auf der Erzeugenden durch P liegen, und aus den Mengen k\{P}, k ein Kreis von M durch P, sowie allen Erzeugenden, welche nicht durch P gehen (vgl. etwa Halder-Heise [11] S. 228). Die Ordnung von Mist die Ordnung der affinen Ebenen Mp. Wir betrachten in dieser Arbeit nur kommutative KSrper K (obwohl 1.4 auch noch ffir Schiefk6rper K gilt) und die zugeh6rigen projektiven Geometrien PG(V) oder PG(n, K), welche durch den Unterraumverband eines Vektorraums V vom Rang n + 1 fiber K gegeben sind. Ein Ovoid ~ in einer projektiven Geometrie ist eine Punktmenge ~ mit (i) Keine drei Punkte von ~ sind kollinear. (ii) Ffir jeden Punkt Pe~ ist die Vereinigung aller Geraden g mit g c~ ~? = {P} eine Hyperebene. Ein Ovoid in einer projektiven Ebene PG(2, K) werden wir als Oval bezeichnen (wie Dembowski [5] S. 48 und S. 147, abweichend yon der Terminologie bei Hirschfeld El3] S. 163). Die ebenen Schnitte eines Ovoids Geometriae Dedicata 13 (1982) 125-147. 0046-5755/82/0132-0125503.45.