Products of topological groups in which all closed subgroups are separable

Abstract

We prove that if H is a topological group such that all closed subgroups of H are separable, then the product G × H has the same property for every separable compact group G.Let c be the cardinality of the continuum. Assuming 2 ω 1 = c, we show that there exist:• pseudocompact topological abelian groups G and H such that all closed subgroups of G and H are separable, but the product G × H contains a closed non-separable σ-compact subgroup; • pseudocomplete locally convex vector spaces K and L such that all closed vector subspaces of K and L are separable, but the product K × L contains a closed non-separable σ-compact vector subspace.

Separability of Topological Groups: A Survey with Open Problems

“…The main aim of this survey paper is to present systematically the results concerning the behavior of separability of topological groups with respect to the topological operations listed above and make clear which problems are open. Much of the material is from the recent publications [1][2][3][4][5][6][7][8].…”

“…[1]). Does a topological group G belong to the class S if and only if G contains a compact separable subgroup K such that the quotient space G/K is countable?…”

Grupos topológicos densamente independientes y la dualidad de Pontryagin

“…La noción de grupo topológico densamente independiente aparece por primera vez en [14]. En este trabajo A. Leiderman y M. Tkachenko demuestran que si κ es un cardinal tal que ω ≤ κ ≤ c y S es un subgrupo del grupo compacto C = Z(2) κ tal que |S| < c, entonces C contiene un subconjunto independiente, denso y numerable X tal que X ∩ S = {e} (ver [14,Proposition 3.2]). En nuestra terminología esto implica que el grupo C es densamente independiente.…”

“…En nuestra terminología esto implica que el grupo C es densamente independiente. Este resultado es utilizado en [14] para probar que existen grupos topológicos abelianos y pseudocompactos G y H tales que todos los subgrupos cerrados de G y H son separables pero el grupo G × H contiene un subgrupo cerrado y σ-compacto que no es separable.…”

“…También en [14], los autores muestran que la propiedad de ser densamente independiente no se puede extender a grupos abelianos, compactos, metrizables que son de torsión. Para probar la afirmación muestran que si G 1 = Z(2) ω y G 2 = Z(4), entonces para el grupo G = G 1 × G 2 y el subgrupo S = {e G 1 } × G 2 de G, cualquier subgrupo denso D de G es tal que D ∩ S = ∅ (ver [14,Remark 3.3]).…”