Preuve d'une conjecture de Brieskorn

Sebastiani, Marcos

doi:10.1007/bf01168382

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“…-D'après notre hypothèse, pour chaque t 0 fixé assez voisin de t(p) la section du fibré de Gauss-Manin de la fonction f t0 sur l'hyperplan {t = t 0 }, induite par θ |{t=t0} , est de torsion. Comme la fonction f t0 a une singularité isolée en p(t 0 ) := S * ∩ t −1 (t 0 ), son fibré de Gauss-Manin est sans torsion d'après [12] Preuve du théorème 1.1.2. -Il résulte de la proposition 2.3.2 que Ker ∇, qui d'après la proposition 1.1.1. est isomorphe àĤ n (rappelons que G ⊂ P et que E est sans b-torsion), est localement constant sur S * et a pour fibre un (a,b)-module régulier géométrique.…”

Section: Remarquons Que Siunclassified

“…En effet, pour t ∈ ∆ fixé, ces classes sont indépendantes sur C{f t } dans le système de Gauss-Manin la fonction f t grâce à la remarque qui suit l'énoncé de la proposition, et donc aussi dans le module de Brieskorn correspondant puisqu'il est sans torsion d'après [12]. On en déduit la même propriété dans son complété formel en f t par platitude de…”

Section: Remarquons Que Siunclassified

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Sur les fonctions à lieu singulier de dimension 1

Barlet¹

2009

Bul. Soc. Math. France

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Résumé. -Dans notre article [6] nous avons construit, pour une classe assez large de germes de fonctions holomorphes f : (C n+1 , 0) → (C, 0) à lieu singulier S := {df = 0} de dimension 1 des invariants analytiques qui généralisent le réseau de Brieskorn d'un germe à singularité isolée. Dans cet article nous montrons que les résultats que nous avions obtenus s'étendent à tous les germes à lieu singulier de dimension 1 sans autre restriction. Ces invariants, essentiellement donnés par des (a,b)-modules géométriques, (objet qui est une abstraction du réseau de Brieskorn formel), décrivent les diverses connexions de Gauss-Manin filtrées associées à un tel germe, ainsi que les relations entre elles. Abstract (On functions with a 1-dimensional singular locus). -In our previous paper [6] we constructed for a large class of germs of holomorphic functions f : (C n+1 , 0) → (C, 0) with one dimensional singular set S := {df = 0}, analytic invariants which generalize the Brieskorn module of an isolated singularity germ. In the present article we show that all results obtained in this previous paper are valid for any holomorphic germ with one dimensional singular locus. So, these invariants, essentially given by geometric (a, b)-modules (this object is an "abstraction" of a formal Brieskorn module) describe the various filtered Gauss-Manin connections associated to such a germ, and the relations between them.

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Section: Remarquons Que Siunclassified

Sur les fonctions à lieu singulier de dimension 1

Barlet¹

2009

Bul. Soc. Math. France

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“…The local results of Brieskorn [5] and Sebastian! [28] combined with Theorem 1 suggest the following CONJECTURE. -Let f(x,y) € K[.r,^/] be a polynomial with isolated critical points^ and such that every fiber /~l(^), t C C is regular at infinity (see [21] of / (there are no critical points "at infinity" in this case [6]).…”

Section: Modules Of Polynomial Differential Formsmentioning

confidence: 99%

Abelian integrals related to Morse polynomials and perturbations of plane hamiltonian vector fields

Gavrilov¹

1999

Annales De L’institut Fourier

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“…The local counterpart of Proposition 1 claims that the ring of relative cohomology is finitely generated as a C{t}-module (Brieskorn-Sebastiani [3,22]). …”

Section: Module Of the Abelian Integralsmentioning

confidence: 99%

“…It is easy to see that exact forms and forms proportional to dH have zero Abelian integrals, so in fact Abelian integrals depend on the class of a form in the so-called Petrov module -the quotient of the space of all forms by a subspace spanned by exact forms and forms proportional to dH, considered in [20]. In [5] L.Gavrilov proved that the Petrov module of a generic Hamiltonian is a finitely generated free C[t]-module.The local counterpart of this statement is due to E.Brieskorn and M. Sebastiani [3,22]. The proof in [5] contains a reference to a general nondegeneracy result (see [1, Theorem 13.6, Ch III]), based on the theory of deformations of Hodge structures.…”

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confidence: 99%