Pressure jump and radial stationary solutions of the degenerate Cahn–Hilliard equation

Abstract

The Cahn-Hilliard equation with degenerate mobility is used in several areas including the modeling of living tissues, following the theory of mixtures. We are interested in quantifying the pressure jump at the interface between phases in the case of incompressible flows. To do so, we depart from the spherically symmetric dynamical compressible model and include an external force. We prove existence of stationary states as limits of the parabolic problems. Then we prove the incompressible limit and characterize compactly supported stationary solutions. This allows us to compute the pressure jump in the small dispersion regime and in particular the force dependent curvature effect.Résumé. L'équation de Cahn-Hilliard avec mobilité dégénérée est utilisée dans différents domaines, en particulier la description de tissus vivants suivant la théorie des mélanges. Nous visons à quantifier le saut de pression à l'interface entre phases dans le cas de flots incompressibles. Pour cela, nous considérons des solutions à symmétrie radiale du problème compressible. Nous démontrons l'existence d'états stationnaires comme limite du problème d'évolution. Nous prouvons ensuite la limite incompressible et caratérisons les solutions à support compact. Ceci nous permet de calculer le saut de pression dans le régime de faible dispersion et en particulier d'obtenir la dépendance en la courbure suivant la force appliquée.

From Vlasov Equation to Degenerate Nonlocal Cahn-Hilliard Equation

“…Concerning the degenerate mobility, in [25], we investigated the case m(u) = u with a smooth potential, motivated by biological applications [23,24]. This result has been extended to the case of systems in [10] which appear in modeling of cell-cell adhesion [13,28].…”