Polynomials and holomorphic functions on A-compact sets in Banach spaces

Abstract

In this paper we study the behavior of holomorphic mappings on A-compact sets. Motivated by the recent work of Aron, Ç alişkan, García and Maestre (2016), we give several conditions (on the holomorphic mappings and on the λ-Banach operator ideal A) under which A-compact sets are preserved. Appealing to the notion of tensorstability for operator ideals, we first address the question in the polynomial setting. Then, we define a radius of (A; B)compactification that permits us to tackle the analytic case. Our approach, for instance, allows us to show that the image of any (p, r)-compact set under any holomorphic function (defined on any open set of a Banach space), is again (p, r)-compact.

Generalized adjoints and applications to composition operators

“…Extending this notion to the nonlinear setting, Aron and Schottenloher [1] defined the adjoint P * of a continuous homogeneous polynomial P , which instantly became a basic tool in Nonlinear Functional Analysis and in Infinite Dimensional Holomorphy. Recent applications of the adjoint of a homogeneous polynomial can be found, e.g., in [9,14,21].…”

Associatividade nos produtos tensoriais projetivo e injetivo

“…Por não serem o objeto central de estudo, muitos resultados serão apresentados sem demonstrações, e referências serão fornecidas. Termos e símbolos não definidos podem ser encontrados em [3,23].…”

“…Definimos a seguir a norma projetiva no produto tensorial de espaços normados. As demonstrações relativasà norma projetiva que apresentamos a seguir são detalhamentos das demonstrações que aparecem em [23] para o caso n = 2. Normalmente, no caso geral os resultados são apresentados sem demonstrações.…”

“…Esses três resultados são conhecidos e largamente utilizados em pesquisa, mencionamos apenas alguns artigos nos quais eles são usados: [4,7,12,13,16,25]. A questãoé que, mesmo sendo muito utilizados,é muito difícil encontrar demonstrações completas e detalhadas na literatura, por serem tais demonstrações longas, técnicas e trabalhosas.…”

“…No Capítulo 1 fazemos uma breve introdução aos conceitos básicos necessários para entender as definições e as demonstrações que se seguem ao longo deste trabalho, nos seguintes temas: espaços de Banach, operadores contínuos, extensão de operadores, espaços topológicos, topologia fraca, topologia fraca-estrela, medidas e integrais. Em geral, para a teoria básica de espaços de Banach e operadores lineares nos referimos a [3], para produtos tensoriais nos referimos a [6,23], e para a teoria dos operadores multilineares contínuos nos referimos a [10,19].…”