Polynomial integrals of magnetic geodesic flows on the 2-torus on several energy levels

Abstract

In this paper the geodesic flow on a 2-torus in a non-zero magnetic field is considered. Suppose that this flow admits an additional first integral F on N + 2 different energy levels which is polynomial in momenta of arbitrary degree N with analytic periodic coefficients. It is proved that in this case the magnetic field and metrics are functions of one variable and there exists a linear in momenta first integral on all energy levels.

О Первых Интегралах Двумерных Геодезических Потоков

“…Данный раздел посвящен исследованию геодезических потоков в магнитном поле. В [24] установлена связь между полиномиальной интегрируемостью магнитного геодезического потока на нескольких и на всех уровнях энергии. В данном разделе этот результат улучшен.…”

“…В [23] установлено, что квадратичный первый интеграл потока (1.2) на двумерном торе на двух различных уровнях энергии всегда сводится к линейному интегралу F 1 на всех уровнях. В [24] доказано, что если геодезический поток (1.2) в ненулевом магнитном поле обладает полиномиальным первым интегралом произвольной степени N на N + 2 различных уровнях энергии, то этот же интеграл сохраняется и на всех уровнях, при этом обязательно существует линейный по импульсам первый интеграл также на всех уровнях энергии.…”

“…4 посвящен исследованию геодезических потоков в присутствии магнитного поля. Улучшен результат о полиномиальной интегрируемости таких потоков на двумерном торе, полученный ранее в [24]. Кроме того, в разд.…”

“…Лемма 2 доказана. С учетом результатов, полученных в[24], из леммы 2 очевидным образом вытекает Теорема 2. Предположим, что геодезический поток (1.2) аналитической римановой метрики ds 2 = (x, y)(dx 2 + dy 2 ) на двумерном торе в ненулевом магнитном поле обладает полиномиальным по импульсам первым интегралом F произвольной степени N с аналитическими коэффициентами на N +1…”

On First Integrals of Two-Dimensional Geodesic Flows

“…It was proved in [23] that a quadratic first integral of flow (1.2) on the two-dimensional torus at two different energy levels always reduces to a linear integral F 1 at all levels. It was proved in [24] that if (1.2) in a nonzero magnetic field has a polynomial first integral of an arbitrary degree N at N + 2 different energy levels then the same integral conserves at all levels. Moreover, in this case there must exist a first integral linear in momenta at all energy levels.…”