Polyhomogénéité des métriques compatibles avec une structure de Lie à l'infini le long du flot de Ricci

Abstract

Je tiens vivement à remercier le Professeur Frédéric Rochon mon directeur de thèse qui a supervisé ce travail avec beaucoup de vision et de rigueur. Il a dirigé ma thèse avec patience et il a dédié beaucoup de temps à mon travail en étant toujours très disponible. Je le remercie sincèrement pour ses conseils directifs qui m'ont été fournis tout au long de ma thèse, et m'ayant permis de faire l'acquisition de précieuses compétences et savoir faire. Je suis également très redevable aux professeurs Steven Lu, Vestislav Apostolov et Eric Bahuaud pour la haute qualité des cours que j'ai suivis avec eux. Je leur dédie une sincère reconnaissance, ainsi que l'expression de mes sentiments les plus distingués. Je remercie aussi les membres du département de Mathématiques et de Statistiques de l'Université de Québec à Montréal qui m'ont réservé un accueil chaleureux, avec également beaucoup de support et de conseils. Enfin, je dédie également cette thèse à mes parents et ma femme, qui ont toujours été présents pour m'encourager tout au long de ces années de thèse sans oublier. À ma petite fille Larine que j'embrasse très fort. TABLE DES MATIÈRES RÉSUMÉ vii VI 4.2 Polyhomogénéité locale des métriques le long du flot de Ricci-DeTurck 4.3 Polyhomogénéité globale des métriques asymptotiquement Einstein le long du flot de Ricci-DeTurck RÉFÉRENCES RÉSUMÉ Le long du flot de Ricci, on étudie la polyhomogénéité des métriques pour des variétés riemanniennes non-compactes ayant «une structure de Lie fibrée à l'infini », c'est-à-dire une classe de structures Lie à l'infini qui induit dans un sens précis des structures de fibrés sur les bords d'une certaine compactification par une variété à coins. Lorsque cette compactification est une variété à bord, cette classe de métriques contient notamment les b-métriques de Melrose, les métriques à bord fibré de Mazzeo-Melrose et les métriques edge de Mazzeo. On montre alors que la polyhomogénéité à l'infini des métriques compatibles avec une structure de Lie fibrée à l'infini est préservée localement par le flot de Ricci-DeTurck. Si la métrique initiale est asymptotiquement Einstein, on obtient la polyhomogénéité des métriques tant que le flot existe. De plus, si la métrique initiale est « lisse jusqu'au bord », alors il en sera de même pour les solutions du flot de Ricci normalisé et du flot de Ricci-DeTurck.

Products of manifolds with fibered corners

“…Corollary A.6 is used in [24,23] to provide local trivializations for bundles of QFB manifolds, a construction that is also useful to see that the results of [7] automatically hold for QFB metrics.…”

“…7), which is precisely a monoid in the refinement discussed above (or a face thereof). As a consequence of Theorem 2.1, the map Z → X × Y factors uniquely through the blow-up X ∼ × Y , and moreover the map Z → X ∼ × Y is simple and b-normal since generators are mapped to generators in the associated monoid homomorphisms, completing the proof.…”

Injectivity radius of manifolds with a Lie structure at infinity

“…Together with the results from [1], this implies that manifolds with a Lie structure at infinity are of bounded geometry. In particular, the hypothesis of positive injectivity radius in [2] is now automatically satisfied, as well as in [3], where it is used to obtain uniform parabolic Schauder estimates. Bounded geometry also yields uniform elliptic Schauder estimates, see [4] for a recent application in this direction.…”

Injectivity radius of manifolds with a Lie structure at infinity

“…Together with the results from [1], this implies that manifolds with a Lie structure at infinity are of bounded geometry. In particular, the hypothesis of injectivity radius in [2] is now automatically satisfied, as well as in [3], where positivity of the injectivity radius is used to obtain uniform parabolic Schauder estimates. Bounded geometry also yields uniform elliptic Schauder estimates, see [4] for a recent application in this direction.…”