Polinômio de Gauss: uma investigação da origem do conceito e a relação com coeficiente binomial

Abstract

O foco principal deste trabalho é explorar a origem do conceito de polinômios de Gauss ou coeficiente q-binomial, relacionando suas propriedades com o coeficiente binomial. Essa estrutura pode ser usada em uma infinidade de interpretações combinatórias estudadas no Ensino Médio e início do Ensino Fundamental II. Os coeficientes binomiais aparecem naturalmente como multiplicadores na expansão de , onde e são números reais. Esses coeficientes possuem uma estreita relação com as combinações simples e são amplamente utilizados em combinatória. Eles possuem uma riqueza de identidades que podem ser demonstradas tanto por métodos algébricos quanto combinatórios. A ideia principal deste trabalho é apresentar uma diversidade de propriedades inerentes ao conceito de polinômios de Gauss e, ao mesmo tempo, calcular o limite quando tende a . Observa-se que o resultado gera identidades provenientes do coeficiente binomial. Essa função polinomial é inicialmente definida por meio de uma função racional, mas ao longo do trabalho, observa-se que ela pode ser representada como uma função polinomial na variável , com . Ao expandir essa função polinomial, obtemos coeficientes que carregam informações de problemas de natureza combinatória. Essa característica interessante permite ao docente estabelecer uma conexão entre conceitos algébricos e combinatórios. Uma outra propriedade interessante inerente ao coeficiente binomial é a relação estendida de Stifel para o polinômio de Gauss que permite a construção de um triângulo aritmético, explorando a natureza geométrica para resolver problemas combinatórios e algébricos. No entanto, o objetivo é descrever a origem do conceito e apresentar uma maneira diferente de introduzir uma classe de polinômios, explorando as operações algébricas entre eles e unindo, de maneira elegante, a Álgebra com a Análise Combinatória.

Os desafios no ensino da análise combinatória: um estudo de caso aplicando uma sequência didática

“…No trabalho de (Kashimoto;Oliveira, 2015) Já (Teixeira;Travassos;Carneiro, 2024), apresentam uma pesquisa com enfoque no ensino médio, porém com uma abordagem diferente das apresentadas anteriormente. Neste trabalho é explorado um histórico sobre a origem do conceito de Polinômio de Gauss e sua relação com o coeficiente binomial.…”

“…Os autores acreditam que os resultados encontrados "[...] ampliam as possibilidades de abordagem combinatória, enriquecendo o ensino da matemática no Ensino Médio." (Teixeira;Travassos;Carneiro, 2024, p. 14).…”