Poisson Manifolds, Lie Algebroids, Modular Classes: a Survey

Kosmann–Schwarzbach, Yvette

doi:10.3842/sigma.2008.005

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“…Another important fact, which we will use in Section 6, is that the Poisson structure π gives a Lie algebroid structure on the cotangent bundle T * X [15,22,29]; in particular, the anchor map π # is a Lie morphism between the sheaf of 1-forms, endowed with the Koszul-Magri bracket and the sheaf of tangent vector fields [23, equation 3.3].…”

Section: Review Of Koszul Bracketsmentioning

confidence: 99%

Formality of Koszul brackets and deformations of holomorphic Poisson manifolds

Fiorenza

Manetti

2012

Homology, Homotopy and Applications

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We show that if a generator of a differential Gerstenhaber algebra satisfies certain Cartan-type identities, then the corresponding Lie bracket is formal. Geometric examples include the shifted de Rham complex of a Poisson manifold and the subcomplex of differential forms on a symplectic manifold vanishing on a Lagrangian submanifold, endowed with the Koszul bracket. As a corollary we generalize a recent result by Hitchin on deformations of holomorphic Poisson manifolds.Dedicated to the memory of J.-L. Loday.

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Section: Review Of Koszul Bracketsmentioning

confidence: 99%

Formality of Koszul brackets and deformations of holomorphic Poisson manifolds

Fiorenza

Manetti

2012

Homology, Homotopy and Applications

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“…Note that Λ(a, b) is not unimodular (see for instance [11] for a recent survey on the modular class of a Poisson manifold). Indeed, there is no Poincaré duality between HP k (Λ(a, b)) and HP 2−k (Λ(a, b)).…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

“…Remarquons que Λ(a, b) n'est pas unimodulaire (voir par exemple [11] pour un exposé récent sur la classe modulaire d'une variété de Poisson). En effet, il n'y a pas de dualité de Poincaré entre HP k (Λ(a, b)) et HP 2−k (Λ(a, b)).…”

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Poisson (co)homology of truncated polynomial algebras in two variables

Launois

Richard

2009

Comptes Rendus. Mathématique

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We study the Poisson (co)homology of the algebra of truncated polynomials in two variables viewed as the semi-classical limit of a quantum complete intersection studied by Bergh and Erdmann. We show in particular that the Poisson cohomology ring of such a Poisson algebra is isomorphic to the Hochschild cohomology ring of the corresponding quantum complete intersection. To cite this article: S. Launois, L. Richard, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009). RésuméCohomologie de Poisson des algèbres de polynômes tronqués en deux indéterminées. Nous étudions la cohomologie de Poisson d'une algèbre de polynômes tronqués en deux indéterminées vue comme la limite semi-classique des intersections complètes quantiques étudiées par Bergh et Erdmann. Nous montrons en particulier que l'anneau de cohomologie de Poisson de cette algèbre de Poisson est isomorphe à l'anneau de cohomologie de Hochschild de l'intersection complète quantique associée. Pour citer cet article : S. Launois, L. Richard, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).La cohomologie de Poisson d'une algèbre de Poisson, telle qu'introduite par Lichnerowicz dans [13], fournit des informations essentielles sur la structure de Poisson considérée. Ainsi la cohomologie en degré zéro correspond aux Casimirs, celle en degré un aux dérivations de Poisson modulo les dérivations hamiltonniennes, et les espaces de cohomologie en degrés deux et trois sont associés aux déformations de cette structure. Un problème classique en théorie des déformations algébriques consiste à comparer la (co)homologie de Poisson d'une algèbre de Poisson avec E-mail addresses: S.Launois@kent.ac.uk (S. Launois), lrichard_ed@yahoo.fr (L. Richard). la (co)homologie de Hochschild de sa déformation. S'il est connu que ces homologies ont des comportements similaires pour des algèbres lisses (voir par exemple [7,9,10,12]), le cas singulier semble plus compliqué à appréhender. L'article [2] fournit de nombreux exemples où déjà les groupes des traces ne sont pas isomorphes. Même lorsque ces groupes coïncident comme c'est le cas pour les singularités de Klein dans [3], les résultats apparaissant dans [1] et [14] montrent que les espaces de (co)homologie de Poisson en plus haut degrés ne sont pas isomorphes aux espaces correspondant en (co)homologie de Hochschild.Dans cette Note nous exhibons une algèbre de Poisson singulière pour laquelle l'anneau de cohomologie de Poisson est isomorphe comme algèbre graduée-commutative à l'anneau de cohomologie de Hochschild d'une dé-formation naturelle de cette algèbre de Poisson. Plus précisément, pour deux entiers a, b 2, on considère l'algèbre de polynômes tronqués Λ(a, b) := C[X, Y ]/(X a , Y b ) munie du crochet de Poisson défini par {X, Y } = XY . Cette algèbre est la limite semi-classique de l'intersection complète quantique Λ q (a, b) étudiée par Bergh et Erdmann dans [5]. Les propriétés homologiques de ces algèbres non commutatives de dimension finie ont été l'objet de nombreuses études récentes (voir par exemple [8,[4][5][6]). En particulier l'algèbre extér...

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“…It is known that the modular class of a Poisson manifold M is an obstruction to the existence of a volume form on M , which is invariant under the action of Hamiltonian vector fields [29], see also [30] and references therein. Since a Hamiltonian vector field X f = −d θ f is a particular case of the β-diffeomorphism, it is natural to expect that there is a desired volume form when the modular class is trivial.…”

Section: Invariant Measurementioning

confidence: 99%

“…The β-diffeomorphism acts on a coordinate function x i as 29) so that the first term of each equation in (2.28) comes from the shift of the argument x i → x i − θ ki ζ k . It acts also on the coordinate basis dx i of T * M as 30) so that the matrix M (ζ) of the change of basis in…”

Section: Tensor Calculusmentioning

confidence: 99%

Gravity theory on Poisson manifold with R‐flux

Asakawa

Muraki

Watamura

2015

Fortschritte der Physik

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A novel gravity theory based on Poisson Generalized Geometry is investigated. A gravity theory on a Poisson manifold equipped with a Riemannian metric is constructed from a contravariant version of the Levi-Civita connection, which is based on the Lie algebroid of a Poisson manifold. Then, we show that in Poisson Generalized Geometry the R-fluxes are consistently coupled with such a gravity. An R-flux appears as a torsion of the corresponding connection in a similar way as an H-flux which appears as a torsion of the connection formulated in the standard Generalized Geometry. We give an analogue of the Einstein-Hilbert action coupled with an R-flux, and show that it is invariant under both β-diffeomorphisms and β-gauge transformations.

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Poisson Manifolds, Lie Algebroids, Modular Classes: a Survey

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Formality of Koszul brackets and deformations of holomorphic Poisson manifolds

Formality of Koszul brackets and deformations of holomorphic Poisson manifolds

Poisson (co)homology of truncated polynomial algebras in two variables

Gravity theory on Poisson manifold with R‐flux

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