Picard–Fuchs equations and Whitham hierarchy in N=2 supersymmetric SU(r+1) Yang–Mills theory

Abstract

In general, Whitham dynamics involves infinitely many parameters called Whitham times, but in the context of N = 2 supersymmetric Yang-Mills theory it can be regarded as a finite system by restricting the number of Whitham times appropriately.For example, in the case of SU(r + 1) gauge theory without hypermultiplets, there are r Whitham times and they play an essential role in the theory. In this situation, the generating meromorphic 1-form of the Whitham hierarchy on Seiberg-Witten curve is represented by a finite linear combination of meromorphic 1-forms associated with these Whitham times, but it turns out that there are various differential relations among these differentials. Since these relations can be written only in terms of the Seiberg-Witten 1-form, their consistency conditions are found to give the Picard-Fuchs equations for the Seiberg-Witten periods.

Generalized Picard-Fuchs operators from Whitham hierarchy in $\mathcal N=2$ supersymmetric gauge theory with massless hypermultiplets

“…Основное достоинство метода мероморфных 1-форм Уизема заключается в том, что он позволяет выводить уравнения Пикара-Фукса из определенных фундаментальных свойств коммутационных соотношений смешанных производных мероморфных 1-форм d Ω n [19], [22]. Очевидно, выбирая n = 1, 2 в уравнении (5), находим…”

“…В настоящей работе мы, имея в виду практические применения, рассматриваем как частный случай ситуацию, когда число временн ых переменных Уизема равно рангу классической калибровочной группы в теории Зайберга-Виттена с безмассовыми гипермультиплетами или без них. Более того, важно заметить, что производные d Ω n по модулярным параметрам кривой Зайберга-Виттена могут быть выражены напрямую через дифференциал Зайберга-Виттена d Ω 1 = dλ с дополнительными слагаемыми [19]- [21].…”

“…Кроме того, как мы увидим, в общем случае классической калибровочной группы в силу простых коммутационных соотношений между различными смешанными производными дифференциала d Ω n мы можем получить совокупность уравнений, удовлетворяющих интегралам от дифференциала Зайберга-Виттена dλ по гомологическим циклам на римановой поверхности, а именно уравнений Пикара-Фукса для динамических переменных ⃗ a и ⃗ a D [19], [22]. На квантовом уровне новая тонкость -ЦЗЯ-ЛЯН ДАЙ это наличие квантового масштаба теории и нового свойства оператора Эйлера; мы находим эффективные способы построения зависящей от Λ части дополнительных уравнений Пикара-Фукса, включающих инстантонные поправки, как показано в работе [6].…”

The Picard–Fuchs equation in classical and quantum physics: application to higher-order WKB method

“…Multiplied by p(y, u) 7 , the derivative df also becomes a nineteenth-order polynomial. Substituting (14) into (12) and equating coefficients next to the powers of x, we find a k (which are of no further need) and the desired constants in (12) (after arbitrarily fixing the overall factor):…”

Instanton correction of prepotential in Ruijsenaars model associated with N=2 SU(2) Seiberg–Witten theory

“…The effective action of gauge theory occasionally including massive hypermultiplets in the fundamental representation of the gauge group has been discussed in many view points, and accordingly, we have now much acquaintance with various properties of the prepotential and it's related materials, such as Picard-Fuchs equations for periods, 3,4,5,6,7 renormalization group like equation for prepotential, 8,9,10,11,12,13 relation to integrable systems, 14,15 appearance of WDVV equations, 16,17,18 flat coordinates 19,20 and so on.…”