Physical, mathematical, and numerical derivations of the Cahn–Hilliard equation

Lee, Dongsun; Huh, Joo Youl; Jeong, Darae; Shin, Jeeyoung; Yun, Ana; Kim, Junseok

doi:10.1016/j.commatsci.2013.08.027

Cited by 133 publications

(105 citation statements)

References 88 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…Different numerical techniques have been utilised to solve the governing equations of phase-field models [16], including finite difference, finite element, and spectral methods. A difficulty regarding the solution of phase-field models is that they typically involve spatial differential operators that are higher than second-order.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Isogeometric analysis of the Cahn–Hilliard equation – a convergence study

Kästner

Metsch

Borst

2016

Journal of Computational Physics

View full text Add to dashboard Cite

Article available under the terms of the CC-BY-NC-ND licence (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/) eprints@whiterose.ac.uk https://eprints.whiterose.ac.uk/ Reuse Unless indicated otherwise, fulltext items are protected by copyright with all rights reserved. The copyright exception in section 29 of the Copyright, Designs and Patents Act 1988 allows the making of a single copy solely for the purpose of non-commercial research or private study within the limits of fair dealing. The publisher or other rights-holder may allow further reproduction and re-use of this version -refer to the White Rose Research Online record for this item. Where records identify the publisher as the copyright holder, users can verify any specific terms of use on the publisher's website. TakedownIf you consider content in White Rose Research Online to be in breach of UK law, please notify us by emailing eprints@whiterose.ac.uk including the URL of the record and the reason for the withdrawal request. AbstractHerein, we present a numerical convergence study of the Cahn-Hilliard phase-field model within an isogeometric finite element analysis framework. Using a manufactured solution, a mixed formulation of the Cahn-Hilliard equation and the direct discretisation of the weak form, which requires a C 1 -continuous approximation, are compared in terms of convergence rates. For approximations that are higher than second-order in space, the direct discretisation is found to be superior. Suboptimal convergence rates occur when splines of order p = 2 are used. This is validated with a priori error estimates for linear problems. The convergence analysis is completed with an investigation of the temporal discretisation. Second-order accuracy is found for the generalised-α method. This ensures the functionality of an adaptive time stepping scheme which is required for the efficient numerical solution of the Cahn-Hilliard equation. The isogeometric finite element framework is eventually validated by two numerical examples of spinodal decomposition.

show abstract

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Isogeometric analysis of the Cahn–Hilliard equation – a convergence study

Kästner

Metsch

Borst

2016

Journal of Computational Physics

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…Данный метод решения уравнения Кана-Хилларда достаточно хорошо развит для случая посто-янной подвижности [33] и подвижности, зависящей от локального состава сплава [34] (см. также, [25,26]). Что-бы применить данный метод к разработанной модели, его необходимо адаптировать для случая, когда параметр квазихимического взаимодействия , а вместе с ним и параметр κ, зависят от координат.…”

Section: численные методы решения уравнения кана-хилларда с параметраunclassified

“…В настоящей работе пред-полагается рассмотреть влияние границ зерен на рас-пределение компонентов сплава (включая формирование фаз) в бинарных сплавах на основе метода функционала плотности свободной энергии [19][20][21]. Данный подход наиболее часто используется для описания фазовых переходов в системах, не имеющих структурных де-фектов, как в области метастабильных [22][23][24], так и нестабильных [25,26] состояний. Этот метод обычно применяется в предположении безграничности рассмат-риваемой среды, при этом влияние эффектов, связанных с наличием границ зерен, как правило, не рассмат-ривается.…”

unclassified

Влияние Границ Зерен На Распределение Компонентов В Бинарных Сплавах

Львов¹,

Светухин²

2017

Физика Твердого Тела

View full text Add to dashboard Cite

На основе метода функционала плотности свободной энергии (уравнения Кана-Хилларда) разработана феноменологическая модель, описывающая влияние границ зерен на распределение компонентов в бинарных сплавах. Модель основывается на предположении о различии параметров взаимодействия между компонента-ми твердого раствора в объеме и на границе зерна. На основе спектрального метода предложена разностная схема для решения уравнения Кана-Хилларда с параметрами взаимодействия, зависящими от координат. Для различных соотношений параметров взаимодействия в объеме и на границе зерна, температуры, а также состава сплава модель может приводить к различным типам распределения растворенного компонента: обеднение или обогащение зернограничной области, преимущественная зернограничная преципитация, конкурентная преципитация в объеме и на границе зерна и др. ВведениеТвердые растворы на основе металлов (сплавы) имеют поликристаллическую структуру, т. е. состоят из небольших фрагментов (зерен), имеющих различ-ную ориентацию друг относительно друга. Области соприкосновения между соседними зернами формируют границы зерен, которые представляют собой дефект кристаллической структуры, оказывающий существен-ное влияние на различные процессы, протекающие в сплавах [1,2] Одной из важных задач прикладного материаловеде-ния является изучение влияния границ зерен на распре-деление компонентов твердого раствора. В литературе известен ряд попыток описания данного процесса с помощью уравнения диффузии [13-16] и на основе метода Монте-Карло [17,18]. В настоящей работе пред-полагается рассмотреть влияние границ зерен на рас-пределение компонентов сплава (включая формирование фаз) в бинарных сплавах на основе метода функционала плотности свободной энергии [19][20][21]. Данный подход наиболее часто используется для описания фазовых переходов в системах, не имеющих структурных де-фектов, как в области метастабильных [22][23][24], так и нестабильных [25,26] состояний. Этот метод обычно применяется в предположении безграничности рассмат-риваемой среды, при этом влияние эффектов, связанных с наличием границ зерен, как правило, не рассмат-ривается. Вместе с тем хорошо известно, что грани-цы зерен могут приводить к локальному изменению скорости диффузии атомов растворенного компонента (см. например, [1,2]), а также энергии взаимодействия между компонентами твердого раствора [5,11,27], что неизбежно сказывается на характере их распределе-ния внутри зерна. Коэффициенты диффузии и пара-метры взаимодействия между компонентами твердого раствора вблизи границ зерен крайне сложно опре-делить экспериментальными методами. Поэтому важ-ной является разработка моделей фазовых переходов с учетом влияния границ зерен, с целью установить связь между распределением фаз и характеристиками сплава на атомном масштабе вблизи границ зерен (например, энергиями взаимодействия, коэффициентами диффузии и др.). 2425

show abstract

“…Одним из основных уравнений для моделей такого типа яв-ляется уравнение Кана-Хилларда [5][6][7], которое, как правило, применяется (с учетом различных модифи-каций) для описания процесса формирования фаз в области спинодального распада (см., например, [8][9][10]). Использование данного уравнения для описания про-цесса нуклеации также является весьма эффективным (см., например, [11,12]), поскольку позволяет рассмат-ривать кластеры, имеющие переменный состав и ха-рактеризующиеся протяженной областью сопряжения фаз и переменным поверхностным натяжением.…”

Section: Introductionunclassified

Моделирование Распада Бинарных Сплавов На Основе Метода Функционала Плотности Свободной Энергии

Львов¹,

Светухин²

2017

Физика Твердого Тела

View full text Add to dashboard Cite

На основе уравнения Кана-Хилларда проведено моделирование распада для трехмерного фрагмента твердого раствора, удовлетворяющего приближению регулярного раствора, с учетом гауссовых флуктуаций начального состояния сплава. Моделирование проводилось для нескольких температур, при этом выявлено наличие четырех стадий (зарождение, рост, коагуляция и коалесценция). Установлено влияние температуры на распределение фаз в процессе распада бинарных сплавов, а также выявлены особенности смены рассмотренных стадий.Работа выполнена в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России и проекта РФФИ № 16-01-00542. DOI: 10.21883/FTT.2017.02.44061.246 ВведениеПроблема образования выделений второй фазы в твердых растворах является одной из основных задач физики конденсированного состояния, поскольку изме-нение распределения фаз сплава в значительной степени определяет его свойства: механические, электрические, оптические и др.При описании образования частиц второй фазы в области стабильных и метастабильных состояний могут быть использованы подходы классической и некласси-ческой теории нуклеации [1,2]. В рамках классической теории нуклеации фазовый переход первого рода в би-нарных сплавах рассматривается как блуждание частиц второй фазы в пространстве размеров, управляемое про-цессами диффузии атомов сплава в матрице. Частицы второй фазы (кластеры) при этом описываются в рамках капиллярного приближения [1,2], которое не учитыва-ет целый ряд особенностей формирования выделений на ранней стадии: протяженность межфазной границы, переменность состава кластеров, переменность коэффи-циента поверхностного натяжения и др. Кроме того, требуется использование дополнительных приближений для описания процесса флуктуационного зарождения второй фазы [1,2]. В ряде практически значимых случаев необходимо учитывать также и взаимодействие между самими кластерами. Данный процесс может быть доста-точно значимым как на ранней стадии, когда концен-трация зародышей новой фазы может быть достаточно высокой, так и на более поздней стадии, когда процесс коагуляции может оказывать существенное влияние на процесс распада твердых растворов [3,4].Все данные особенности формирования фаз могут быть учтены естественным образом на основе метода функционала плотности свободной энергии [5]. Одним из основных уравнений для моделей такого типа яв-ляется уравнение Кана-Хилларда [5][6][7], которое, как правило, применяется (с учетом различных модифи-каций) для описания процесса формирования фаз в области спинодального распада (см., например, [8][9][10]). Использование данного уравнения для описания про-цесса нуклеации также является весьма эффективным (см., например, [11,12]), поскольку позволяет рассмат-ривать кластеры, имеющие переменный состав и ха-рактеризующиеся протяженной областью сопряжения фаз и переменным поверхностным натяжением. При этом линейный размер кластеров зачастую оказывается сравнимым с размером области сопряжения фаз и может составлять несколько нанометров [11][12][13][14][15]. С помощью метода функционала плотности свободной энерги...

show abstract

Physical, mathematical, and numerical derivations of the Cahn–Hilliard equation

Cited by 133 publications

References 88 publications

Isogeometric analysis of the Cahn–Hilliard equation – a convergence study

Isogeometric analysis of the Cahn–Hilliard equation – a convergence study

Влияние Границ Зерен На Распределение Компонентов В Бинарных Сплавах

Моделирование Распада Бинарных Сплавов На Основе Метода Функционала Плотности Свободной Энергии

Contact Info

Product

Resources

About