Phénomène de Hartogs-Bochner dans les variétés CR

Abstract

L'origine de l'étude de l'extension globale des fonctions CR remonte au théorème de Hartogs sur l'extension des fonctions holomorphes définies au voisinage du bord d'un domaine borné,à bord connexe régulier de C n , n ≥ 2. Au début des années 1940, Bochner [Bo] et Martinelli [Ma 1] donnent indépendamment une démonstration rigoureuse de ce théorème. Plus précisément Bochner démontre que si D est un domaine bornéà bord connexe de classe C ∞ de C n , n ≥ 2, toute fonction f de classe C ∞ définie sur ∂D et vérifiant∂ b f = 0, s'étend en une fonction holomorphe sur D et C ∞ surD. De nombreux auteurs ont alors travaillé sur le sujet, citons entre autres Martinelli [Ma 2], qui a donné une expression intégrale du prolongement F de f , et Weinstock [W], qui a obtenu une caractérisation des fonctions f continues sur ∂D possédant la propriété d'extension holomorphe au domaine D tout entier. En 1972, Andreotti et Hill [An/Hi] ont montré que le résultat prouvé par Bochner reste vrai si on remplace C n par une variété analytique complexe M vérifiant H 1 c (M, O) = 0, et le cas où la donnée f est de classe C p sur le bord du domaine aété résolu indépendamment parČirka [Či] et Harvey et Lawson [Ha/La] en 1975. Vers le milieu des années 1980 ce problème d'extension globale des fonctions CR aété généralisé dans deux directions différentes. La première est de considérer des fonctions CR qui ne sont définies que sur une partie du bord du domaine. Les premiers résultats dans ce cadre ontété obtenus par Lupacciolu et Tomassini [Lu/To] puis par Lupacciolu [Lu]. Leurs travaux ont eté ensuite généralisés par différents auteurs (cf.

Holomorphic extensions in complex fiber bundles

“…The ∂-equation is intimately related to the first cohomology groups and also to the Hartogs and Hartogs-Bochner phenomena (see, for instance, [11] or [3]). Because of that we need the following definitions.…”

“…Then we calculate the integral (7), using (10) in the second equation and (11) in the third one, we obtain…”

“…Historically it started with the classical theorem of Hartogs [6] in 1906. Then many versions and generalizations of this property were considered in complex analysis, algebraic geometry and partial differential equations, see, for instance, Ehrenpreis [5], Kohn and Rossi [9], Ivashkovich [8], Laurent-Thiebaut [11], Harvey and Lawson [7], Dolbeault and Henkin [2], Sarkis [12,13], Andreotti and Hill [1], Dwilewicz [3], Dwilewicz and Merker [4] and many others.…”

$${\bar{\partial }}$$ ∂ ¯ -Problem in Fiber Bundles for Decreasing (0, 1)-Forms

“…The theorems like Theorem 1 or from [7] are very useful in the Hartogs-type extension (see [12,13]) of holomorphic or Cauchy-Riemann functions in a wide class of complex manifolds, see [2][3][4][5][6]9,10,15,16,18]. Applications are given in [7] and we do not repeat them here.…”

On the Hartogs–Bochner phenomenon for CR functions in $P_2(\mathbb {C})$

“…This theorem was generalized by Bochner in 1943, namely that it is enough to consider C 1 -smooth functions defined just on the boundary of the domain that satisfy the tangential Cauchy-Riemann equations. Since that time many versions and generalizations of the theorem appeared; see, for instance, Kohn-Rossi [12], Ehrenpreis [3], Ivashkovich [10], Harvey [7], Harvey-Lawson [8], Laurent-Thiébaut [13], Dolbeault-Henkin [2], Sarkis [16], [17], and others -for a review see [13].…”