“…|(C a,b − C b,b )(x)| dx = 2 Im a R |τ βa f (x) − τ β b f (x)||(Rγ b * τ β b f )(x)| dx = 2 Im a R |τ βa f (x) − τ β b f (x)| +∞ 0 ibs f (x − β b + s) ds dx = 2 Im a R |τ βa f (x) − τ β b f (x)| e −ib(x−β b ) L x−β b e iby f (y) dy dx Im a R |τ βa f (x) − τ β b f (x)| e Im b (x−β b ) L x−β b e − Im by | f (y)| dy dx ≤ 2 Im b C(b) • ω 2 ( f ; β a − β b )||f || 2 .For the last term, the bounds from Lemmas 3.5 and 3.7 imply thatR |(D a,b − D b,b )(x)| dx = 4 Im b R |(Rγ b * τ β b f )(x)|| Im a (Rγ a * τ βa f )(x) − Im b (Rγ b * τ β b f )(x)| dx ≤ 4 Im b C(b)||f || 2 || Im a (Rγ a * τ βa f ) − Im b (Rγ b * τ β b f )|| Im b C(b)C(a, b)||f || 2 2 + 4 √ 2π Im b C(b) • ω 2 ( f ; β a − β b )||f || 2 .Combining these three estimates from above, we getR (B a,b − B b,b )(x) + (C a,b − C b,b ) (x) + (D a,b − D b,b ) (x) dx ≤ R | (B a,b − B b,b ) (x)| + | (C a,b − C b,b ) (x)| + | (D a,b − D b,b ) (x)| dx ≤ 2 √ 2π + (2 + 4 √ 2π) Im b C(b) ω 2 ( f ; β a − β b )||f || 2 + 2C(a, b) + 4 Im b C(b)C(a, b) ||f || 2Finally, from(18), we obtain inf|c|=1 ||F a f − cF b f || 2 2 ≤ 2 āb a b F a f , F b f − ||f || 2 b C(b) ω 2 ( f ; β a − β b )||f || 2 + 2C(a, b) + 4 Im b C(b)C(a, b) ||f || 2(a, b) = 2C(a, b) + 4 Im b C(b)C(a, b), (22) so that C 2 (a, b) −→ 0 as a −→ b, we obtain the theorem.…”