Phase Plane Analysis of the Photometrical Variations of Long-Period Variables

Abstract

ABSTRACT. Using the phase plane diagrams, the phase light curves of a group of the Mira-type stars and semi-regular variables are analyzed. As generalized coordinates х and ẋ, we have used т -the brightness of the star and its phase derivative. We have used mean phase light curves using observations of various authors. The data typically span a large time interval (nearly a century). They were compiled from the databases of AAVSO, AFOEV, VSOLJ, ASAS and approximated using a trigonometric polynomial of statistically optimal degree. As the resulting approximation characterizes the autooscillation process, which leads to a photometrical variability, the phase diagram corresponds to a limit cycle.For all stars studied, the limit cycles were computed. For a simple sine-like light curve, in e.g., L 2 Pup, the limit cycle is a simple ellipse. In a case of more complicated light curve, in which harmonics are statistically significant, the limit cycle has deviations from the ellipse.In an addition to a classical analysis, we use the error estimates of the smoothing function and its derivative to constrain an "error corridor" in the phase plane.

MAVKA: Program of statistically optimal determination of phenomenological parameters of extrema. Parabolic spline algorithm and analysis of variability of the semi-regular star Z UMa

“…Тому, у програмi MCV, нами було обчислено параметри комбiнованої моделi iз s = 4 частотами, двi з яких є подвiйними двох перших: Для довгоперiодичних зiр iз моноперiодичними та порiвняно стабiльними кривими блиску, оптимальною апроксимацiєю є тригонометричний полiном (кiнцева сума ряду Фур'є) iз статистично значимим ступенем [42,43]. Для виявлення повiльних змiн перiоду та амплiтуди, часто використовують вейвлет-аналiз (wavelet analysis) [44][45][46], який iнодi називають ''спалах-аналiз" та його модифiкацiю -"ковзаючi синуси" (Running Sine, RS) [47]. Комбiнацiя тригонометричного полiнома iз локальним профiлем затемнення [48][49][50] теж не ефективна для розглянутого типу коливань, як i визначення "характерних точок", як перетину постiйного рiвня [51][52].…”

Astroinformatics: Statistically Optimal Approximations of Near-Extremal Parts with Application to Variable Stars

“…For the pulsating stars, we make a few-component analysis including period search and determination of the statistically optimal degree of the trigonometrical polynomial, phase plane analysis of the photometrical variations (Kudashkina & Andronov (2017b)). Impact of Pulsation Activity on the Light Curves of Symbiotic Variables was studied by .…”

Semiregular Variable Stars

“… создание атласа средних кривых блеска полуправильных переменных звезд, как например «Catalogue of main characteristics of pulsations of 173 semi-regular stars» [48];  использование для уточнения классификации звезд трех групп фотометрических параметров (фундаментальных -период Р, амплитуда Δm=m min -m max , асимметрия f=φ max -φ min , степень тригонометрического полинома s; параметры крутизны ветвей кривой блескаm i = dm(t)/dt -максимальный наклон восходящей ветви, m d = dm(t)/dt -максимальный наклон нисходящей ветви, t i = dt/dmхарактерное время возрастания блеска на 1 m , t d = dt/dm -характерное время спадания блеска на 1 m , m is = (dm/dt) curve /(dm/dt) sinus -для восходящей ветви, m ds -то же самое для нисходящей ветви, где (dm/dt) sinus =π(m min -m max )/Р; дополнительные (параметры гармоник)r kамплитуда гармоники с частотой kf 1 , φ k -фаза максимума гармоники относительно фазы максимума блеска, φ k1 = φ k -kφ 1 -сдвиг фаз относительно главного колебания блеска) [36,49,50];  анализ фазовых портретов полуправильных переменных, полученных с различными значениями периодов в случае мультипериодичных звезд [14,38];  пересмотр классификации отдельных объектов и выделение переходной группы (полуправильныемириды) [51,52,53] и звезд с «переключением» мод колебаний и мультипериодичностью [54].…”

“…и фазовый портрет SRa -звезды W Hya[14] -вверху; фазовые портреты RV Tau c основным периодом (слева) и половинным (справа) -посередине и то же для U Mon -внизу[33].Заметим, что кривые блеска звезд типа RV Tau, хотя и подвержены сильной изменчивости, но их фазовые портреты указывают на то, что колебания с половинным от основного (см. табл.…”