Perpendicular orders

Weak orders admitting a perpendicular linear order

“…Theorem 2 gathers several results proved independently. Equivalence (i) ⇔ (v) is due to Rival and Zaguia [9], equivalence (ii) ⇔ (iii) to Nozaki et al [7] and equivalence (iii) ⇔ (iv) to the second author of the present paper [11]. For a direct proof of Theorem 2, obtain the equivalence (i) ⇔ (ii) from the fact that P P ∩ Q Q = L L ∩ L L ; next, use or prove the equivalences (ii) ⇔ (iii) and (iii) ⇔ (iv) and observe that the implications (iv) ⇒ (v) ⇒ (iii) are trivial (Fig.…”

Ordres indécomposables critiques

“…We essentially prove that these orders are 2-dimensional in the case where they have height at most three. This result is related to a conjecture on perpendicular orders [8,9]. This is also an instance of the study of the behavior of order properties with respect to the addition of new comparabilities.…”

“…Excluant les ordres totaux sur trois sommets ou moins, nous les appelons critiques [9]. Nous prouvons essentiellement que les ordres critiques de hauteur au plus trois sont de dimension 2 ; un resultat qui est en rapport avec une conjecture [8,9] sur les ordres perpendiculaires. Notre étude s'inscrit dans le cadre plus général de l'étude du comportement de propriétés d'ordres vis-à-vis de l'adjonction de comparabilités (pour un autre exemple, voir [1,6,7]).…”

“…I. Rival et N. Zaguia [8] ont montré que tout ordre indécomposable de dimension deux admettait un perpendiculaire et conjecturé que en fait tout ordre indécomposable admet un ordre perpendiculaire. Nous avons légèrement étendu leur résultat [9].…”

“…, P k sont tous indécomposables, P i+1 est une couverture de P i pour tout i = k, et P k est de dimension deux. D'après [8], P k admet un perpendiculaire R. Étendre la preuve du Théorème 1.9 en montrant que P et R sont perpendiculaires. Nous ne pouvons encore rien dire de cette étape.…”