Parallel Arnoldi eigensolvers with enhanced scalability via global communications rearrangement

Hernández, Vicente; Román, José E.; Tomás, Andrés E.

doi:10.1016/j.parco.2007.04.004

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“…Replacing Modied Gram-Schmidt with Classical Gram-Schmidt, although considered to be less stable, requires fewer synchronization points in methods which require explicit orthogonalization [18].…”

Section: Related Work In Avoiding Communication In Ksmsmentioning

confidence: 99%

Avoiding Communication in Two-Sided Krylov Subspace Methods

Carson¹,

Knight²,

Demmel³

2011

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Section: Related Work In Avoiding Communication In Ksmsmentioning

confidence: 99%

Avoiding Communication in Two-Sided Krylov Subspace Methods

Carson¹,

Knight²,

Demmel³

2011

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“…Second, for efficiency reasons, Algorithm 3.1 (lines 5 and 6) uses the classical Gram-Schmidt procedure instead of modified Gram-Schmidt, but in a practical implementation this process must be repeated twice to enhance numerical stability. See [10] for details on parallel implementation of iterated Gram-Schmidt. Finally, although full reorthogonalization is performed, all Gram-Schmidt coefficients are discarded except the diagonal element α j , as is done in practical Lanczos implementations, and similarly we only store the diagonal elements of Ω k , even if V * k BV k is not really diagonal in finite precision arithmetic (furthermore, ω j 's are rounded to ±1 when Lanczos vectors are B-normalized).…”

Section: Pseudo-lanczos Methodsmentioning

confidence: 99%

Restarted Q-Arnoldi-type methods exploiting symmetry in quadratic eigenvalue problems

Campos

Román

2016

Bit Numer Math

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We investigate how to adapt the Q-Arnoldi method for the case of symmetric quadratic eigenvalue problems, that is, we are interested in computing a few eigenpairs (λ , x) of (λ 2 M + λC + K)x = 0 with M,C, K symmetric n × n matrices. This problem has no particular structure, in the sense that eigenvalues can be complex or even defective. Still, symmetry of the matrices can be exploited to some extent. For this, we perform a symmetric linearization Ay = λ By, where A, B are symmetric 2n × 2n matrices but the pair (A, B) is indefinite and hence standard Lanczos methods are not applicable. We implement a symmetric-indefinite Lanczos method and enrich it with a thick-restart technique. This method uses pseudo inner products induced by matrix B for the orthogonalization of vectors (indefinite Gram-Schmidt). The projected problem is also an indefinite matrix pair. The next step is to write a specialized, memory-efficient version that exploits the block structure of A and B, referring only to the original problem matrices M,C, K as in the Q-Arnoldi method.This results in what we have called the Q-Lanczos method. Furthermore, we define a stabilized variant analog of the TOAR method. We show results obtained with parallel implementations in SLEPc.

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“…The default configuration (used in §2.4) employs iterative CGS (which yields better parallel scaling and higher floating point operations throughput than MGS), with a DGKS-like re-orthogonalization criterion. See [Hernandez et al, 2007] for details.…”

Section: Subspace Orthogonalizationmentioning

confidence: 99%

Parallel Implementation

Trobec¹,

Kosec²

2015

Parallel Scientific Computing

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ResumenEl problema de valores propios (también llamado de autovalores) está presente en multitud dé areas científicas a través de, por ejemplo, la resolución de ecuaciones en derivadas parciales, reducción de modelos y cálculo de funciones matriciales, entre otras muchas aplicaciones. Si los problemas son de dimensión moderada (menor a 10 6 ), pueden ser abordados mediante los llamados métodos directos, como el algoritmo iterativo QR o el método de divide y vencerás. Sin embargo, si el problema es de gran dimensión y sólo se requieren unas pocas soluciones, comparado con el tamaño del problema, los métodos iterativos pueden resultar más eficientes. Además, los métodos iterativos pueden ofrecer mejor rendimiento en arquitecturas de altas prestaciones, como las plataformas paralelas de memoria distribuida, en las que existe un cierto número de nodos computacionales con espacio de memoria propio y sólo pueden compartir información y sincronizarse mediante el paso de mensajes.Esta tesis aborda la implementación de métodos de tipo Davidson, destacando Generalized Davidson y Jacobi-Davidson, una clase de métodos iterativos que pueden ser competitivos en casos especialmente difíciles como calcular valores propios en el interior del espectro o cuando la factorización de matrices es prohibitiva o ineficiente, y sólo es posible una factorización aproximada. La implementación se desarrolla en SLEPc (Scalable Library for Eigenvalue Problem Computations), librería de software libre para la resolución de problemas de gran tamaño de valores propios, problemas cuadráticos de valores propios y problemas de valores singulares, entre otros.Como resultado de esta tesis, SLEPc incorpora una implementación de Generalized Davidson y Jacobi-Davidson para problemas estándares y generalizados, tanto hermitianos como no hermitianos, característica a destacar ya que los problemas no hermitianos no están soportados en otras librerías libres y paralelas con métodos de Davidson. Además de incorporar mejoras en la convergencia de los métodos, como la extracción de pares propios mediante el método de Rayleigh-Ritz armónico, se han realizado otras optimizaciones para mejorar el rendimiento, como evitar la aritmética compleja cuando las matrices son reales (aunque los pares propios puedan tener parte imaginaria) o agrupar las operaciones a bloques para aprovechar la memoria caché. Además se ha presentado un método nuevo para expandir el subespacio, llamado GD2, que ofrece mejores resultados en comparación con Generalized Davidson cuando el precondicionador está muy alejado del ideal.La estabilidad numérica y el rendimiento computacional de la implementación se han evaluado mediante una batería de problemas procedentes de aplicaciones reales, y comparado con otras librerías como PRIMME o Anasazi.Finalmente se presenta la integración de la implementación en dos aplicaciones científicas. Por un lado, Jacobi-Davidson ha mejorado las prestaciones de los cálculos de valores propios y los estudios multiparamétricos que aparecen en GENE, un código que re...

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Parallel Arnoldi eigensolvers with enhanced scalability via global communications rearrangement

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Avoiding Communication in Two-Sided Krylov Subspace Methods

Avoiding Communication in Two-Sided Krylov Subspace Methods

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