Oscillations in Higher-Order Neutral Differential Equations

Abstract

Consider the n-th order (n ≥ 1 ) neutral differential equation where σ1 < σ 2 < ∞ and μ and η are increasing real-valued functions on [Ƭ1, Ƭ2] and [σ1, σ2] respectively. The function μ is assumed to be not constant on [Ƭ1, Ƭ2] and [Ƭ1, Ƭ2] for every Ƭ ∈ (Ƭ1, Ƭ2) similarly, for each σ ∈ (σ1, σ2), it is supposed that r\ is not constant on [σ1 , σ] and [σ, σ2]. Under some mild restrictions on Ƭ1,- and σ1, (ι = 1,2), it is proved that all solutions of (E) are oscillatory if and only if the characteristic equation of (E) has no real roots.

Επι Της Ποιοτικης Συμπεριφορας Διαφορικων Εξισωσεων Και Εξισωσεων Διαφορων

“…Ιδιαίτερα, αναφέρουμε τα ταλαντωτικά συμπεράσματα από τους Ladas [46] και Koplatadze and Chanturija [41] (βλέπε επίσης το άρθρο του Kwong [43])• για μερικά πολύ πρόσφατα σχετικά συμπεράσματα παρα πέμπουμε στα άρθρα των Jaros and Stavroulakis [32], Li [61,62] και Philos and Sficas [90] (βλέπε επίσης τις αναφορές που παραπέμπονται σ' αυτές). Στην ειδική περίπτωση μίας αυτόνομης υστερημένης ή προωθημένου τύπου διαφορικής εξίσωσης είναι γνωστό ότι μία ικανή και αναγκαία συνθήκη για την ταλάντωση όλων των λύσεων είναι ότι η χαρακτηριστική της εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες• ένα τέτοιο συμπέρασμα αποδείχθηκε από τους Arino, Györi and Jawhari [3], Ladas, Sficas and Stavroulakis [54,55] και Tramov [94] (βλέπε επίσης τα άρθρα των Arino and Györi [2] για τη γενική περίπτωση διαφορικών συστημάτων ουδετέρου τύπου, και των Philos, Purnaras and Sficas [85] και Philos and Sficas [89] για κάποιες γενικές μορφές διαφορικών εξι σώσεων ουδετέρου τύπου). Επίσης, για μία κλάση υστερημένων διαφορικών εξισώσεων με περιοδικούς συντελεστές, μία ικανή και αναγκαία συνθήκη για την ταλάντωση όλων των λύσεων δόθηκε από τον Philos [72] (σε αυτή την περίπτωση θεωρείται ξανά μία χαρακτηριστική εξίσωση).…”