Orthogonal polynomials with periodically modulated recurrence coefficients in the Jordan block case

Abstract

We study orthogonal polynomials with periodically modulated recurrence coefficients when 0 lies on the hard edge of the spectrum of the corresponding periodic Jacobi matrix. In particular, we show that their orthogonality measure is purely absolutely continuous on a real half-line and purely discrete on its complement. Additionally, we provide the constructive formula for the density in terms of Turán determinants. Moreover, we determine the exact asymptotic behavior of the orthogonal polynomials. Finally, we study scaling limits of the Christoffel-Darboux kernel.Résumé. -Nous étudions des polynômes orthogonaux avec coefficients de récurrence périodiquement modulés, lorsque 0 est une véritable extrémité du spectre de la matrice de Jacobi périodique correspondante. En particulier, nous montrons que leur mesure d'orthogonalité est purement absolument continue sur une demidroite réelle et purement discrète sur son complémentaire. De plus, nous fournissons une formule constructive pour la densité, en termes de déterminants de Turán. Nous déterminons aussi le comportement asymptotique exact des polynômes orthogonaux. Enfin, nous étudions les limites d'échelle du noyau de Christoffel-Darboux. the moments Rx n dµ(x) are finite.