Ordinary Petri Net Matrices

Abstract

This work presents some ideas and theory on representing ordinary Petri nets using matrices and builds on previous work in [11],[12]. The three main types of matrices used for Petri net representation are the input, output and incidence matrices. The motivation for this work is that matrices can provide an alternative way to describe Petri nets from the conventional graphical representation. As is indicated several properties can be inferred, observed and derived from the matrices. Some definitions and examples are used.

Route management modeling of high-speed trains on the train dispatcher section

“…The process of admitting/sending routes is carried out using the following indicators. We determine the mathematical performance of the Petri Nets by comparing the automation and telemechanics equipment at the station, the condition of the tracks at the station, and the time on the schedule of high-speed trains at each station [24][25][26][27][28][29][30][31][32][33][34]. Where is, I -checks access conditions when preparing routes.…”

“…j -row and ε -standing at the intersection of the columns ojε element tj if there is an arc at the top of the pε from the top of the transition, it will be equal if tj is zero without an arc. If tj -from pε -to the bow, Petri Nets will not be available [24][25][26]. The mathematics of the Petri Nets can be written in the form of expressions (2) -entry, (3) -exit conditions for checking the condition and priority of trains in the process of creating trains for receiving or sending trains at stations:…”

การตัดไทม์เพทริเน็ตโดยใช้คุณสมบัติตรรกะเชิงเวลาแบบเมตริก

“…𝑔𝑡(𝑡23) = [33,36], 𝑔𝑡(𝑡301) = [35,39], 𝑔𝑡(𝑡302) = [36,41], 𝑔𝑡 จากบทแทรกที ่ 2 จะได้ ว่ า ระยะเวลาการทำงานจากระบบเริ ่ มทำงานถึ ง {𝑡205, 𝑡505} คื อ [33,36] เนื ่ องจาก [33,36] ∈ 𝐼(𝜑 1 ) ดั งนั ้ น 𝑇𝑃𝑁 ⊨ 𝐼(𝜑 1 ) และ 𝑇𝑃𝑁_𝑝1′ ⊨ 𝐼(𝜑 1 ) จากผลการทวนสอบด้ วยสู ตรตรรกะเชิ งเวลาเชิ งเส้ น 𝐿𝑇𝐿(𝜑 1 ) ด้ วยเครื ่ องมื อที นา และผลการวิ เคราะห์ คุ ณสมบั ติ เชิ งเวลา สามารถสรุ ปได้ ว่ า 𝑇𝑃N ⊨ LTL(φ 1 ) ⋀ 𝑇𝑃N ⊨ I(𝜑 1 ) และ 𝑇𝑃𝑁_𝑝1′ ⊨ LTL(φ 1 ) ∧ 𝑇𝑃𝑁_𝑝1′ ⊨ I(𝜑 1 ) ดั งนั ้ น 𝑇𝑃𝑁 ⊨ 𝜑 ดั งนั ้ น คุ ณสมบั ติ เชิ งเวลา 𝐼(𝜑 3 ) = 𝐼 1 (𝜑 3 ) ∧ 𝐼 2 (𝜑 3 ) เมื ่ อทวนสอบด้ วยสู ตรตรรกะเชิ งเวลาเชิ งเส้ น 𝐿𝑇𝐿(𝜑 3 ) ด้ วยเครื ่ องมื อที นา จะได้ ว่ า 𝑇𝑃𝑁 ⊨ 𝐿𝑇𝐿(𝜑 3 ) และ 𝑇𝑃𝑁_𝑝3′ ⊨ 𝐿𝑇𝐿(𝜑 3 ) เมื ่ อวิ เคราะห์ คุ ณสมบั ติ เชิ งเวลา จะได้ ว่ า จาก 𝑡𝐶𝑟𝑖𝑡(𝜑 3 ) = {𝑡205, 𝑡505, 𝑡31, 𝑡61, 𝑡104} จากบทแทรกที ่ 2 จะได้ ว่ า ระยะเวลาการทำงานจากระบบเริ ่ มทำงานถึ ง {𝑡205, 𝑡505} คื อ [33,36] ระยะเวลาการทำงานจาก {𝑡31, 𝑡61} ถึ ง {𝑡104} คื อ เนื ่ องจาก [33,36] ∈ 𝐼 1 (𝜑 3 ) และ [9,13] ∈ 𝐼 2 (𝜑 3 ) ดั งนั ้ น 𝑇𝑃𝑁 ⊨ 𝐼(𝜑 3 ) และ 𝑇𝑃𝑁_𝑝3′ ⊨ 𝐼(𝜑 3 )…”

“…, (𝑡 1 , 𝑡 3 ), (𝑡 2 , 𝑡 4 ), (𝑡 3 , 𝑡 5 ), (𝑡 4 , 𝑡 7 ), (𝑡 5 , 𝑡 7 ), (𝑡 6 , 𝑡 8 ), (𝑡 7 , 𝑡 8 )} สามารถสร้ างเมตริ กซ์ การยิ งทรานสิ ชั นจากนิ ยามที ่ 13 ได้ ดั งนี ้ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [5,11] จากนั ้ นคำนวณหาโหนดถั ดไปของโหนดการยิ ง 𝑡 2 , 𝑡 3 คื อ -เซตของเพลส 𝑃 = {𝑝 1 , 𝑝 2 , 𝑝 3 , 𝑝 4 , 𝑝 5 , 𝑝 6 , 𝑝 7 , 𝑝 8 , 𝑝 9 , 𝑝 10 , 𝑝 11 } -เซตของทรานสิ ชั น 𝑇 = {𝑡 1 , 𝑡 2 , 𝑡 3 , 𝑡 4 , 𝑡 5 , 𝑡 6 , 𝑡 7 , 𝑡 8 } -ค่ าถ่ วงน้ ำหนั กของเส้ นเชื ่ อมขาเข้ าจากเพลสไปทรานสิ ชั น 𝐵(𝑥) = 1; 𝑥 ∈ {(𝑝 1 , 𝑡 1 ), (𝑝 2 , 𝑡 2 ), (𝑝 3 , 𝑡 3 ), (𝑝 4 , 𝑡 4 ), (𝑝 5 , 𝑡 5 ), (𝑝 6 , 𝑡 6 ), (𝑝 7 , 𝑡 7 ), (𝑝 8 , 𝑡 7 ), (𝑝 9 , 𝑡 8 ), (𝑝 10 , 𝑡 8 )} -ค่ าถ่ วงน้ ำหนั กของเส้ นเชื ่ อมขาออกจากทรานสิ ชั นไปเพลส 𝐹(𝑥) = 1; 𝑥 ∈ {(𝑡 1 , 𝑝 2 ), (𝑡 1 , 𝑝 3 ), (𝑡 2 , 𝑝 4 ), (𝑡 2 , 𝑝 4 ), (𝑡 3 , 𝑝 5 ), (𝑡 4 , 𝑝 7 ), (𝑡 5 , 𝑝 8 ), (𝑡 6 , 𝑝 9 ), (𝑡 7 , 𝑝 10 ), (𝑡 8 , 𝑝 11 )} 𝑔𝑡(𝑡202) = [30,30], 𝑔𝑡(𝑡203) = [30,30], 𝑔𝑡(𝑡204) = [32,34], 𝑔𝑡(𝑡205) = [33,36],…”

“…𝑡303) = [49,60], 𝑔𝑡(𝑡31) = [36,41], 𝑔𝑡(𝑡34) = [49,60], 𝑔𝑡(𝑡401) = [53,66], 𝑔𝑡(𝑡402) = [54,68], 𝑔𝑡(𝑡403) = [59,75], 𝑔𝑡(𝑡43) = [59,75], 𝑔𝑡(𝑡501) =[30,30], 𝑔𝑡(𝑡502) =[30,30], 𝑔𝑡(𝑡503) =[30,30], 𝑔𝑡(𝑡504) =[32,34], 𝑔𝑡(𝑡505) =[33,36], 𝑔𝑡(𝑡56) =[33,36], 𝑔𝑡(𝑡601) =[35,39], 𝑔𝑡(𝑡602) =[36,41], 𝑔𝑡(𝑡603) = [49,60], 𝑔𝑡(𝑡61) =[36,41], 𝑔𝑡(𝑡67) = [49,60], 𝑔𝑡(𝑡701) = [53,66], 𝑔𝑡(𝑡702) = [54,68], 𝑔𝑡(𝑡76) = [59,75], 𝑔𝑡(𝑡703) = [59,75]} ขั ้ นตอนที ่ 2 สกั ดเกณฑ์ การตั ดโหนดการยิ งจากสู ตรตรรกะเชิ งเวลาแบบเมตริ ก จาก 𝜑 1 = (((𝑝201 ˄ 𝑝202 ˄ 𝑝203) → ( ≤40 𝑅𝐺1. 𝑀𝑆𝐺)) ∧ ((𝑝501 ˄ 𝑝502 ˄ 𝑝503) → ( ≤40 𝑅𝐺2.…”