Optimal size of a rigid thin stiffener reinforcing an elastic plate on the outer edge

Abstract

The mathematical models describing equilibrium of cracked elastic plates with rigid thin stiffeners on the outer boundary are studied. On the crack faces the boundary conditions are specified in the form of inequalities which describe the mutual nonpenetration of the crack faces. We analyze the dependence of solutions on the length of the thin rigid stiffener reinforcing the cracked Kirchhoff-Love plate on the outer edge. The existence is proved of the solution to the optimal control problem. For this problem the cost functional is defined by an arbitrary continuous functional, while the length parameter of the thin rigid stiffener is chosen as a control function.

Fictitious Domain Method for Equilibrium Problems of the Kirchhoff-Love Plates with Nonpenetration Conditions for Known Configurations of Plate Edges

“…The method of the fictitious domain has proven useful in establishing the solvability of problems that describe equilibrium of bodies with cracks crossing the external boundary at zero angles [2,4,8,9]. In the last years, within the framework of crack models subject to non-penetration boundary conditions, numerous works have been published, see, for example, [11][12][13][14][15][16][17][18][19][20][21][22][23][24][25].…”

Optimal control of a thin rigid stiffener for a model describing

“…Начиная с 1990-х годов, начали активно разрабатываться задачи теории трещин с условиями непроникания противоположных берегов трещины [2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17]. Используя вариационный подход, успешно исследован широкий круг задач о деформировании композитных тел, содержащих жесткие включения см., например, [18,19,20,21,22,23,24]. В частности, теория двумерных задач теории упругости с тонкими жесткими включениями и возможным отслоением предложена в [18].…”

“…Анализ зависимости решения задачи от вариации формы объемного включения в упругом двумерном теле с трещиной, выходящей за пределы тонкого жесткого включения проведен в [21]. Результаты о существовании тонких жестких включений оптимального размера для двумерного тела и для пластины Кирхгофа-Лява можно найти в работах [22,23]. Отметим, что качественная связь между задачами о равновесии пластин модели Тимошенко, которые содержат тонкие и жесткие включения на внешней границе установлена в [24], а именно, показано, что задача для пластины с тонким включением является предельной для семейства задач о равновесии пластин с объемными включениями -при стремлении параметра размера объемного включения к нулю.…”

“…В исследовании задач для моделей композитных тел с трещинами, применяются как линейные, так и нелинейные граничные условия см. [18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30].…”

“…Кроме того, установлена непрерывная зависимость решений от параметра размера включения в заданном пространстве Соболева. Формулировка указанных результатов без доказательств каких-либо утверждений была ранее приведена в сборнике трудов конференции [31].…”