One-generated nilpotent Novikov algebras

Abstract

We give a classification of 5and 6-dimensional complex one-generated nilpotent Novikov algebras.

One-generated nilpotent bicommutative algebras

“…For example, the classifications of 4-dimensional right commutative [2], assosymmetric [26], bicommutative [36], commutative [22] and terminal [32] nilpotent algebras show that there exist several one-generated algebras of dimension 4 from these varieties. Recently, one-generated nilpotent Novikov and assosymmetric algebras in dimensions 5 and 6, and one-generated nilpotent terminal algebras in dimension 5 were classified in [10,33,35]. In the present paper, we give the algebraic classification of 5and 6-dimensional complex one-generated nilpotent bicommutative algebras.…”

One-generated nilpotent terminal algebras

“…T 5 17 (α, β) e 1 e 1 = e 2 e 1 e 2 = e 4 e 1 e 4 = e 5 e 2 e 1 = e 3 e 2 e 2 = αe 5 e 2 e 3 = e 5 e 3 e 1 = (3α + β)e 5 e 4 e 1 = βe T 5 18 (α) e 1 e 1 = e 2 e 1 e 2 = e 4 e 2 e 1 = e 3 e 2 e 2 = αe e 2 e 3 = e 5 e 3 e 1 = (3α + 1)e 5 e 4 e 1 = e 5 T 5 19 (α, β, γ) (α;γ) =(0;− 1 3 ) e 1 e 1 = e 2 e 1 e 2 = e 4 e 1 e 3 = αe 5 e 1 e 4 = βe e 2 e 1 = e 3 e 2 e 2 = (α + γ)e 5 e 3 e 1 = (3γ + 1)e 5 e 4 e 1 = e 5 T 5 20 (α, β) (α;β) =(0;0) e 1 e 1 = e 2 e 1 e 2 = e 4 e 1 e 3 = αe 5 e 1 e 4 = e 5 e 2 e 1 = e 3 e 2 e 2 = (α + β)e 5 e 3 e 1 = 3βe 5 3.2. 1-dimensional central extensions of T 4 02 (α).…”

“…T 5 26 e 1 e 1 = e 2 e 1 e 2 = e 3 e 1 e 3 = e 4 e 1 e 4 = e 5 e 2 e 2 = e 5 e 3 e 1 = −3e 5 T 5 27 e 1 e 1 = e 2 e 1 e 2 = e 3 e 1 e 3 = e 4 e 1 e 4 = e 5 T 5 28 e 1 e 1 = e 2 e 1 e 2 = e 3 e 1 e 3 = e 4 e 1 e 4 = e 5 e 2 e 1 = e 5 3.4. 1-dimensional central extensions of T 4 .…”

“…λe 3 + e 4 e 1 e 3 = e 5 e 2 e = e 3 e 2 e 2 = e 5 T 5 06 (λ, α) e 1 e = e 2 e 1 e 2 = λe 3 + e 4 e 1 e 3 = αe (λ) e 1 e = e 2 e 1 e 2 = λe 3 e 1 e 3 = e 4 e 2 e = e 3 e 2 e 2 = e 4 + 1−λ 3 e 5 e 3 e 1 = e 5 T 5 08 (λ) e 1 e = e 2 e 1 e 2 = λe 3 + e 5 e 1 e 3 = e 4 e = e 3 e 2 e = (α + 1)e 4 e 2 e 3 = e 5 e 3 e 1 = 3e 4 T = e 3 e 2 e = (α + 1)e 4 e 2 e 3 = e 5 e 3 e 1 = 3e 4 T5 16 (α, β) e 1 e = e 2 e 1 e 2 = βe 4 + e 5 e 1 e 3 = αe 4 e 2 e 1 = e 3 e 2 e = (α + 1)e 4 e 2 e 3 = e 5 e 3 e 1 = 3e 4T 5 17 (α, β) e 1 e 1 = e e 1 e 2 = e 4 e 1 e 4 = e 5 e 2 e 1 = e 3 e 2 e 2 = αe 5 e 2 e 3 = e 5 e 3 e 1 = (3α + β)e e e 1 = βe 5 T = αe 5 e e 3 = e e 3 e 1 = (3α + 1)e 5 e 4 e 1 = e 5 T5 (α, β, γ) e 1 e 1 = e 2 e 1 e 2 = e e 1 e 3 = αe 5 e 1 e 4 = βe 5 (α; γ) = (0; −1 3 ) e 2 e 1 = e 3 e 2 e 2 = (α + γ)e 5 e 3 e 1 = (3γ + 1)e 5 e e 1 = e 5 T5 20 (α, β) e 1 e 1 = e 2 e 1 e 2 = e 4 e 1 e 3 = αe5 e 1 e 4 = e 5 (α; β) = (0; 0) e 2 e 1 = e 3 e 2 e 2 = (α + β)e 5 e 3 e 1 = 3βe 5 T = 6e 4 e 1 e 4 = βe 5 e 2 e 2 = e e 2 e 3 = (2β + 1)e 5 e 3 e 1 = −3e 4 e 3 e 2 = −3(β + 1)e 5 e 4 e = e 5 T 5 24 (β) e 1 e 1 = e 2 e 1 e 2 = e 3 e 1 e 3 = 6e 4 + e 5 e 1 e 4 = βe 5 e 2 e 2 = e 4 e 2 e 3 = (2β + 1)e 5 e 3 e 1 = −3e 4 e 3 e 2 = −3(β + 1)e e 4 e 1 = e 5 T 5 25 (β) e 1 e 1 = e 2 e 1 e 2 = e 3 e 1 e 3 = 6e 4 + βe 5 e 1 e 4 = −2e 5 e 2 e 1 = e 5 e 2 e 2 = e 4 e 2 e 3 = −3e 5 e 3 e 1 = −3e 4 e 3 e 2 = 3e 5 e 4 e 1 = e 5 T = e 3 e 3 e 1 = e 4 e 3 e 4 = e 5 T e 1 = e 2 e 1 e 2 = e 3 e 2 e 1 = e 3 e 3 e 1 = e 4 e 3 e 4 = e 5 T 5 34 (β) e 1 e 1 = e 2 e 1 e 2 = βe 5 e 1 e 3 = 1 3 e 4 e 2 e 1 = e 3 e 2 e 2 = 2 3 e 4 e 2 e 3 = e 5 e 2 e 4 = e 5 e 3 e 1 = e 4 e 3 e 3 = e 5 T = βe 5 e 3 e 1 = e 4 e 3 e 2 = − 2 5 e 5 e 4 e 1 = − 7 2 e 5 T 5 41 (α, β) e 1 e 1 = e 2 e 1 e 2 = −e 3 e 1 e 3 = αe 4 + e 5 e 1 e 4 = βe 5 e 2 e 1 = e 3 e 2 e 2 = α + 2 3 e 4 + e 5 e 2 e 3 = 3α+1 = e 5 T 5 46 (λ, β) e 1 e 1 = e e 1 e 2 = λe 3 + e 5 e 1 e 3 = 4λ−1 5−2λ e 4 + βe 5 e 1 e 4 = 4λ−1 5−2λ e 5 λ = 1, −2, − 1 2 , e 1 = e e 2 e 2 = (2λ+1)(λ+2) 3(5−2λ) e 4 + βe 5 e 2 e 3 = 2(2λ+1)(3λ 2 +1) 3λ(5−2λ) 2 e e 1 = e e 3 e 2 = 2λ+1 5−2λ e e 4 e 1 = e 5 T 5 47 (λ, β) e 1 e 1 = e e 1 e 2 = λe 3 e 1 e 3 = 4λ−1 5−2λ e 4 + e 5 e 1 e 4 = βe e 1 = e e 2 e 2 = (2λ+1)(λ+2) 3(5−2λ) e 4 + e 5 e 2 e 3 = β(4λ 2 −2λ+7)+2(λ−1) 2 3λ(5−2λ)e e 1 = e e 3 e 2 = β − 2(λ−1) β(4λ 2 −2λ+7)+2(λ−1) = e 5 T5 52 (β) e 1 e 1 = e e 1 e 2 = −2e 3 + βe 5 e 1 e 3 = −e 4 + e 5 e 1 e 4 = e e 2 e 1 = e 3 e 2 e 2 = e 5 e 2 e 3 = − e 5 e 3 e 1 = e 4 e 3 e 2 = e 5 T e 1 = e e 1 e 2 = − 1 2 e 3 e 1 e 3 = − 1 2 e 4 + e 5 e 1 e 4 = − 1 2 e 5 e 2 e 1 = e e 2 e 2 = e 5 e 3 e 1 = e 4 e 4 e 1 = e 5 T = e 5 T 5 55 (λ, α) λ =−2,0 e 1 e 1 3α−2(λ−1) 3λ e −2e 3 + e 5 e 1 e 3 = αe 4 e 1 e 4 = e e 2 e 1 = e 3 e 2 e 2 = (α + 1)e 4 e 3 e 1 = e e 2 e 3 = − α+2 2 e 5 e 3 e 2 = e 5 T 5 59 (β) e 1 e 1 = e e 1 e 2 = e 3 + e 4 e 1 e 3 = e 4 e 1 e 4 = βe 5 e 2 e 1 = e e 2 e 2 = e 4 − e 5 e 2 e 3 = βe 5 e 3 e 1 = e 4 e 3 e = βe e e = 3e 5 T 5 60 (β) β =0 e 1 e 1 = e 2 e 1 e = e 3 + e 4 e 1 e 3 = e 4 e 1 e 4 = 3e 5 e e 1 = e 3 e 2 e 2 = e 4 − e 5 e 2 e 3 = 3e 5 e 3 e 1 = e 4 + βe 5 e 3 e 2 = 3e 5 e 4 e 1 = 3e 5 T 61 (β) β =0 e 1 e 1 = e 2 e 1 e = e 3 + e 4 + βe 5 e 1 e 3 = e 4 e 1 e 4 = 3e 5 e 2 e 1 = e 3 e 2 e 2 = e 4 − e e 2 e 3 = 3e 5 e 3 e = e 4 − 6e 5 e 3 e 2 = 3e 5 e 4 e 1 = 3e 5 T 5 62 (β) β =0 e 1 e 1 = e 2 e 1 e 2 = −e 3 + e 4 e 1 e 3 = − 2 3 e + βe 5 e 1 e 4 = 3e 5 e 2 e 1 = e 3 e 2 e = βe 5 e 2 e = −2e 5 e 3 e 1 = e 4 e 3 e 2 = 3e 5 T 5 63 (β) β =0 e 1 e 1 = e 2 e 1 e 2 = −e + e 4 + βe 5 e 1 e 3 = − 2 3 e 4 − e 5 e 1 e 4 = 9e 5 e 2 e 1 = e 3 e 2 e 2 = 3e 5 e 2 e 3 = −2e 5 e 3 e 1 = e 4 e 3 e 2 = 3e 5 e e 1 = −12e 5 T 5 64 (β, γ) e 1 e 1 = e 2 e 1 e 2 = −e 3 + e 4 e 1 e 3 = − 2 e 4 + (β + 2)e 5 e 1 e 4 = 3(γ − 1)e 5 e e 1 = e 3 e 2 e 2 = βe e 2 e...…”

Central extensions of filiform Zinbiel algebras

“…The algebraic classification (up to isomorphism) of an n-dimensional algebras from a certain variety defined by some family of polynomial identities is a classical problem in the theory of non-associative algebras. There are many results related to algebraic classification of small dimensional algebras in the varieties of Jordan, Lie, Leibniz, Zinbiel and many another algebras [1,9,[11][12][13][14][15][16]24,27,31,33,[36][37][38]42]. An algebra A is called a Zinbiel algebra if it satisfies the identity…”