Ondas superficiais de gravidade

Abstract

Neste artigo discutimos a propagação de ondas de pequena amplitude num líquido de profundidade constante com base em uma equação de ondas. A solução geral mostra que a velocidade de propagaçãoé dependente do comprimento de onda de modo que ocorre o fenômeno da dispersão. Soluções para os casos de pequena e grande profundidades são também obtidas. Palavras-chave: ondas de gravidade, dispersão de ondas, ondas num líquido.In this article we discuss the propagation of small amplitude waves in a liquid of constant depth based on a wave equation. The general solution shows that propagation speed depends on the wavelength and consequently there is waves dispersion. Solutions for shallow and the deep water are shown. Keywords: gravity waves, wave dispersion, waves on the liquid. IntroduçãoO estudo da propagação de ondasé fundamental para a formação dos alunos dos cursos de física, matemática e das engenharias. No seu desenvolvimentoé possivel aplicar várias técnicas matemáticas como o emprego de uma teoria linearizada, ferramenta simples e extremamenteútil na resolução de problemas complexos, bem como a obtenção da solução de equações diferenciais com condições de contorno.Neste artigo desenvolvemos, com base em conceitos acessíveis aos alunos dos cursos iniciais de cálculo e física, alguns aspectos da teoria da propagação de perturbações harmônicas na superfície de um líquido de profundidade constante e inicialmente em repouso. Uma abordagem computacional deste tema foi desenvolvida recentemente [ e pela equação da continuidadeNestas equações (r, t) representa a densidade do fluido, v(r, t) a velocidade, p(r, t) a pressão e f a força gravitacional específica (força por unidade de massa). Suponhamos que o fluido, inicialmente em equilíbrio ( = 0 , v = 0 e p = p 0 ), experimenta uma perturbação de modo a adquirir a velocidade de escoamentov(r, t), com densidade e pressão dadas por (r, t) = 0 (r) +¯ (r, t) ,com¯ / 0 1 ep/p 0 1. Vamos considerar que as perturbações das grandezas de equilíbrio e seus gradientes são pequenos de modo que seus produtos podem ser desconsiderados e somente os termos lineares são mantidos. Além disso, da Eq. (1) ∇p 0 = 0 f no equilíbrio. Substituindo as Eqs. (3) e (4) nas Eqs. (1) e (2), obtemosonde admitimos que a densidade de equilíbrioé aproximadamente uniforme de modo que pudemos descartar o termo de segunda ordemv · ∇ 0 . Se tomarmos o rotacional de ambos os membros da Eq. (5) e tendo em conta que a força gravitacionalé