On the structure of the essential spectrum for the three‐particle Schrödinger operators on lattices

Abstract

Key words Discrete Schrödinger operators, quantum mechanical two-and three-particle systems, Hamiltonians, short-range potentials, eigenvalues, quasi-momentum, essential spectrum, lattice, Faddeev type equation MSC (2000) Primary: 81Q10, Secondary: 35P20, 47N50A system of three quantum particles on the three-dimensional lattice Z 3 with arbitrary dispersion functions having not necessarily compact support and interacting via short-range pair potentials is considered. The energy operators of the systems of the two-and three-particles on the lattice Z 3 in the coordinate and momentum representations are described as bounded self-adjoint operators on the corresponding Hilbert spaces. For all sufficiently small values of the two-particle quasi-momentum k ∈ (−π, π] 3 the finiteness of the number of eigenvalues of the two-particle discrete Schrödinger operator hα(k) below the continuous spectrum is established. The location of the essential spectrum of the three-particle discrete Schrödinger operator H(K), K ∈ (−π, π] 3 being the three-particle quasi-momentum, is described by means of the spectrum of the two-particle discrete Schrödinger operator hα(k), k ∈ (−π, π] 3 . It is established that the essential spectrum of the three-particle discrete Schrödinger operator H(K), K ∈ (−π, π] 3 , consists of finitely many bounded closed intervals.

Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра одного трeхчастичного модельного оператора

“…Операторы H 1 и H 2 обладают характеристическими свой-ствами канальных операторов соответствующего трёхчастичного дискретно-го оператора Шрёдингера, см. например [3,4]. По этой причине будем назы-вать их канальными операторами, соответствующими модельному операто-ру H.…”

“…Исследованию существенного спектра непрерывных и дискрет-ных операторов Шрёдингера посвящены многие работы (см. например [1,2] и [3,4], соответственно). В настоящей работе рассматривается модельный опе-ратор H, ассоциированный с системой трёх частиц на ν-мерной решётке.…”

“…После выделения полного квазиимпульса системы K ∈ T ν , ис-пользуя разложение в прямой операторный интеграл (см. например [3,4]), изучение спектральных свойств оператораĤ можно свести к исследованию спектральных свойств семейства самосопряжённых ограниченных операто-…”

О существенном спектре одного модельного оператора, ассоциированного с системой трeх частиц на решeтке

“…например [1][2][3]. Системы трёх частиц на решётке были рассмотрены в работах [4][5][6][7] и исследован их существенный спектр. В частности, в работе [5] доказано, что существенный спектр трёхчастичного оператора Шрёдингера на решётке со-стоит из объединения не более чем конечного числа отрезков, даже в том случае, когда соответствующий двухчастичный оператор Шрёдингера на ре-шётке имеет бесконечное число собственных значений.…”

“…Поэтому в решётчатом случае необходимо изучать ветви существенного спектра по обе стороны трёхчастичной ветви, от которого зависит существование двусторон-него эффекта Ефимова. В работах [4][5][6][7][8] доказано, что решётчатые операторы не имеют частей существенного и дискретного спектра правее трёхчастичной ветви. В этих работах изучение расположения существенного спектра основа-но на монотонности определителя Фредгольма модели Фридрихса.…”