On the stability of flat complex vector bundles over parallelizable manifolds

Abstract

We investigate the flat holomorphic vector bundles over compact complex parallelizable manifolds G/Γ, where G is a complex connected Lie group and Γ is a cocompact lattice in it. The main result proved here is a structure theorem for flat holomorphic vector bundles E ρ associated to any irreducible representation ρ : Γ −→ GL(r, C). More precisely, we prove that E ρ is holomorphically isomorphic to a vector bundle of the form E ⊕n , where E is a stable vector bundle. All the rational Chern classes of E vanish, in particular, its degree is zero.We deduce a stability result for flat holomorphic vector bundles E ρ of rank 2 over G/Γ. If an irreducible representation ρ : Γ −→ GL(2, C) satisfies the condition that the induced homomorphism Γ −→ PGL(2, C) does not extend to a homomorphism from G, then E ρ is proved to be stable.Résumé. Nousétudions les fibrés holomorphes plats sur les variétés parallélisables compactes G/Γ (avec G groupe de Lie connexe complexe et Γ réseau cocompact). Notre résultat principal décrit les fibrés holomorphes plats E ρ associésà des représentations irréductibles ρ : Γ −→ GL(r, C). Nous démontrons que ces fibrés E ρ sont isomorphesà une somme directe E ⊕n , avec E fibré vectoriel stable de degré zero.Nous en déduisons un résultat de stabilité concernant les fibrés holomorphes plats E ρ de rang 2 sur les quotients G/Γ. Si ρ : Γ −→ GL(2, C) est une représentation irréductible telle que le morphisme induit ρ ′ : Γ −→ PGL(2, C) ne s'étend pasà G, alors E ρ est stable. Version française abrégéeNousétudions les fibrés plats holomorphes sur les variétés parallélisables compactes G/Γ, avec G groupe de Lie complexe connexe et Γ réseau cocompact. Ces fibrés plats de rang r sont donnés par des représentations ρ : Γ −→ GL(r, C). Un tel fibré est holomorphiquement trivial si et seulement si le morphisme ρ s'étend en un morphisme de groupes de Lie G −→ GL(r, C) (voir, par exemple,[16, p. 801, Proposition 3.1]).Nous nous intéressonsà la notion de stabilité de ces fibrés. Même si pour G non abélien, les quotients G/Γ ne sont pas kähleriens, ces variétés portent des métriques balancées (i.e. qui ont la propriété dω m−1 = 0, avec m la dimension complexe de la variété) [1,3]. Par rapportà ces métriques les notions classiques de degré, pente (=degré divisé par le rang) et (semi-)stabilité et polystabilité au sens des pentes se définissent comme dans le cas classique (projective ou kählerien) [10].